Как найти значение выражений 1 разделить на 4 минус корень из 14?

Для решения приведенных ниже задач, похожих на сформулированную в заголовке данной статьи, следует вспомнить формулу разности квадратов:

a²— b²= (a — b)(a + b)

Итак, поехали.
Задача #1 (номер задачи на fipi.ru — 60508D). Как найти значение выражений 1 разделить на 4 минус корень из 14, то есть

$\frac{1}{4-\sqrt{14}}$

1) $\frac{4-\sqrt{14}}{2}$
2) $4-\sqrt{14}$
3) $4+\sqrt{14}$
4) $\frac{4+\sqrt{14}}{2}$
Решение:
Прежде всего, избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:
$4+\sqrt{14}$ , и получим

$\frac{1}{4-\sqrt{14}}=\frac{4+\sqrt{14}}{\left (4-\sqrt{14} \right )\left ( 4+\sqrt{14} \right )}$

Следующим шагом воспользуемся формулой разности квадратов, приведенной выше.

$\frac{4+\sqrt{14}}{\left (4-\sqrt{14} \right )\left ( 4+\sqrt{14} \right )}= \frac{4+\sqrt{14}}{4^{2}-(\sqrt{14})^{2}}=\frac{4+\sqrt{14}}{16-14}=\frac{4+\sqrt{14}}{2}$

Ответ: 4) $\frac{4+\sqrt{14}}{2}$ .

Задача #2 (номер задачи на fipi.ru — 82AE92). Как найти значение
выражений 1 разделить на 2 минус корень квадратный из 3, то есть

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

1) $-2-\sqrt{3}$
2) $\sqrt{3}-2$
3) $2-\sqrt{3}$
4) $2+\sqrt{3}$
Решение:
Прежде всего, избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:
$2 +\sqrt{3}$ , и получим

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\left (2-\sqrt{3} \right )\left ( 2+\sqrt{3} \right )}$

Следующим шагом воспользуемся формулой разности квадратов, приведенной выше.

$\frac{2+\sqrt{3}}{\left (2-\sqrt{3} \right )\left ( 2+\sqrt{3} \right )}= \frac{2+\sqrt{3}}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$

Ответ: 4) $2+\sqrt{3}$ .

Задача #3 (номер задачи на fipi.ru — F0566C). Как найти значение
выражений 1 разделить на 3 минус корень квадратный из 7, то есть

$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$

1) $3-\sqrt{7}$
2) $\frac{3-\sqrt{7}}{2}$
3) $\frac{3+\sqrt{7}}{2}$
4) $3+\sqrt{7}$
Решение:
Прежде всего, избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:
$3 +\sqrt{7}$ , и получим

$\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{\left (3-\sqrt{7} \right )\left ( 3+\sqrt{7} \right )}$

Следующим шагом воспользуемся формулой разности квадратов, приведенной выше.

$\frac{3+\sqrt{7}}{\left (3-\sqrt{7} \right )\left ( 3+\sqrt{7} \right )}= \frac{3+\sqrt{7}}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}=\frac{3+\sqrt{7}}{9-7}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$

Ответ: 3) $\frac{3+\sqrt{7}}{2}$ .

Задача #4 (номер задачи на fipi.ru — 4B88F0). Как найти значение
выражений 1 разделить на 3 минус корень квадратный из 5, то есть

$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$

1) $\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
2) $\frac{\sqrt{5}-3}{2}$
3) $\frac{3+\sqrt{5}}{4}$
4) $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
Решение:
Прежде всего, избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:
$3 +\sqrt{5}$ , и получим

$\frac{1}{3-\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{\left (3-\sqrt{5} \right )\left ( 3+\sqrt{5} \right )}$

Следующим шагом воспользуемся формулой разности квадратов, приведенной выше.

$\frac{3+\sqrt{5}}{\left (3-\sqrt{5} \right )\left ( 3+\sqrt{5} \right )}= \frac{3+\sqrt{5}}{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$

Ответ: 3) $\frac{3+\sqrt{5}}{4}$ .

Задача #5 (номер задачи на fipi.ru — E63762). Как найти значение
выражений 1 разделить на 2 минус корень квадратный из 5, то есть

$\frac{1}{2-\sqrt{5}}$

1) $\frac{-2-\sqrt{5}}{3}$
2) $-2-\sqrt{5}$
3) $\frac{\sqrt{5}-2}{3}$
4) $\sqrt{5}-2$
Решение:
Прежде всего, избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:
$2 +\sqrt{5}$ , и получим

$\frac{1}{2-\sqrt{5}}=\frac{2+\sqrt{5}}{\left (2-\sqrt{5} \right )\left ( 2+\sqrt{5} \right )}$

Следующим шагом воспользуемся формулой разности квадратов, приведенной выше.

$\frac{2+\sqrt{5}}{\left (2-\sqrt{5} \right )\left ( 2+\sqrt{5} \right )}= \frac{2+\sqrt{5}}{2^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=\frac{2+\sqrt{5}}{4-5}=\frac{2+\sqrt{5}}{-1}=-2-\sqrt{5}$

Ответ: 2) $-2-\sqrt{5}$ .

Задача #6 (номер задачи на fipi.ru — 3C1C95). Как найти значение
выражений 1 разделить на 3 минус корень квадратный из 2, то есть

$\frac{1}{3-\sqrt{2}}$

1) $\frac{3+\sqrt{2}}{7}$
2) $3+\sqrt{2}$
3) $3-\sqrt{2}$
4) $\frac{3-\sqrt{2}}{7}$
Решение:
Прежде всего, избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:
$3 +\sqrt{2}$ , и получим

$\frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{3+\sqrt{2}}{\left (3-\sqrt{2} \right )\left ( 3+\sqrt{2} \right )}$

Следующим шагом воспользуемся формулой разности квадратов, приведенной выше.

$\frac{3+\sqrt{2}}{\left (3-\sqrt{2} \right )\left ( 3+\sqrt{2} \right )}= \frac{3+\sqrt{2}}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{3+\sqrt{2}}{9-2}=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$

Ответ: 1) $\frac{3+\sqrt{2}}{7}$ .