Собака этой породы была няней троих детей семьи Дарлингов

Чтобы ответить на вопрос обратимся к произведению.

Миссис Дарлинг любила, чтобы все в доме было, как надо, а мистер Дарлинг любил, чтобы было не хуже, чем у людей. Поэтому они никак не могли обойтись без няни. Но поскольку они были бедны — ведь дети просто разоряли их на молоко, — в нянях у них была большая черная собака-водолаз, которую звали Нэна. До того, как Дарлинги наняли ее к себе на службу, она была просто ничьей собакой. Правда, она очень заботилась о детях вообще, и Дарлинги познакомились с ней в Кенсингтонском парке. Там она проводила свой досуг, заглядывая в детские колясочки. Ее страшно не любили нерадивые няньки, которых она сопровождала до дому и жаловалась на них их хозяйкам.

Под описание представленное в книге больше всего подходит ньюфаундленд. Это и будет правильный ответ.

Собака породы ньюфаундленд была няней троих детей семьи 
Дарлингов в произведении Дж. М. Барри.

Ньюфа́ундленд — это порода собак, первоначально использовавшаяся как рабочая собака в Канаде. Это большие собаки с длинной густой чёрной, коричневой или черно-белой шерстью и густым подшёрстком, допускается наличие белых пятен на груди и лапах.

В России ньюфаундленда иногда называют водолазом, именно поэтому в русском переводе книги мы встречаем название собака-водолаз.