Кенгуру 2017 для 10-11 класса

1. Круг с длиной окружности 2 катится по прямой (см. рисунок). Какая буква окажется в секторе, отмеченном знаком вопроса?

2. Какой год находится в третьем десятилетии пятого века?

3. На рисунке изображены 4 ромба, имеющие площади 1, 4, 9 и 16. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

5. На какие два угла нельзя разбить тупой угол лучом, выходящим из его вершины?

6. Точки D, E, F - середины отрезков AB, CD и AE. Площадь треугольника ABC равна 24. Чему равна площадь треугольника FEF?

7. Как известно, минутой называется не только 1/60 часть часа, но и 1/60 часть градуса. На сколько минут за 1 минуту поворачивается минутная стрелка часов?

8. Прямоугольный параллелепипед был склеен из кубиков. Когда несколько из них отвалились, осталась фигура, изображенная на рисунке справа. Из какого наименьшего количества кубиков мог быть склеен этот параллелепипед?

11. Сколько существует таких натуральных чисел А, что из чисел А и А+20 четырехзначным является ровно одно?

13. На какое из чисел может делиться произведение трех двузначных простых чисел?

14. В верном числовом неравенстве a - b > c - d одно из чисел в левой части и одно из чисел в правой части увеличили на 1, после чего неравенство стало неверным. Какие числа увеличили?

16. Один из углов некоторого десятиугольника равен среднему арифметическому остальных углов. Найдите этот угол.

17. Сколько квадратных трехчленов x² + bx + c таковы, что числа b и c различны и являются его корнями?

18. В домике кота Леопольда есть 10 мышиных норок. Кот потребовал, чтобы в любых двух норках жили не более пяти мышек. Какое наибольшее количество мышек может жить в доме у кота Леопольда?

20. Тихон составляет расписание тренировок по бегу на несколько месяцев. Он собирается тренироваться по три дня в неделю в одни и те же дни и не хочет тренироваться два дня подряд. Сколькими способами он может составить такое расписание?

21. Сколько существует семизначных чисел, в которых цифры слева направо не уменьшаются, а каждая из цифр этого числа встречается столько раз, каково ее значение?

22. Сколько существует таких натуральных числе N, что среди чисел от 1 до N ровно 10% делятся на 9?

23. В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 1. Оказалось, что его можно согнуть по линиям, проходящим через вершины A и C, так что вершины B и D попадут в одну точку (см. рисунок). Какое наибольшее значение может принимать сторона BC?

24. Несколько одинаковых кубиков лежат в ряд. Этот ряд продолжили, добавив еще несколько кубиков. При этом площадь поверхности всего блока увеличилась в k раз. Чему не может быть равно k?

25. Пусть a и b - корни уравнения x² + x - 7 = 0. Чему равно 3a² + 4b² + 2a + 3b + 1?

26. Все натуральные делители натурального числа N выписали по возрастанию. Известно, что произведение пятого и десятого чисел в этом ряду равно N. Сколько делителей у числа N?

27. Навстречу друг другу едут два поезда. Скорость первого поезда равна 70 км/ч, а скорость второго - 60км/ч. Длина первого поезда - 360 м, а длина второго - 420 м. Каково расстояние от точки, где встретятся начала этих поездов, до точки, где встретятся концы последних вагонов этих поездов?

28. Знайка подсчитал количество плоскостей симметрии у некоторого прямоугольного параллелепипеда. Какой из результатов у него не мог получиться?

29. Пусть α и β - углы треугольника. Какое из неравенств не может выполняться?

30. Точка D выбрана на стороне AC треугольника ABC так, что DC = AB. Точки M и N - середины отрезков AD и BC, угол NMC = 18°. Найдите угол BAC.