Кенгуру 2017 для 7-8 класса

1. Правильный пятиугольник со стороной 1 катят по прямой, перекатывая через вершину (см. рисунок). Какая буква будет в треугольнике, отмеченном знаком вопроса?

2. На рисунке указаны расстояния между параллельными сторонами двух прямоугольников. Чему равна разность периметров этих прямоугольников?

3. Про положительные числа a и b известно, что 75% от числа a равно 40% от числа b. Это значит, что

5. Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Теперь он ищет двузначные числа, словесная запись которых состоит из двух слов, в которых поровну букв. Сколько существует таких чисел?

На рисунке изображены три прямые. Чему равен угол x?

7. Из 82 одинаковых кубиков сложили три куба. Какое наименьшее число кубиков могло остаться?

9. Какой год находится в пятом десятилетии третьего века?

11. Сколько существует таких натуральных числе А, что из чисел А и А+10 трехзначным является ровно одно?

12. В забеге участвовало N человек. Число прибежавших раньше Ани в четыре раза больше числа тех, кто прибежал позже нее. А число прибежавших раньше Миши в пять раз меньше, чем число прибежавших позже него. Чему может быть равно N?

13. Эмили хочет вписать в клетки квадрата 3 * 3 числа так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних (имеющих общую сторону) клетках была одинаковой. Два числа уже вписаны (см. рисунок). Какой будет сумма всех чисел в таблице?

14. Один из углов некоторого пятиугольника равен среднему арифметическому четырех остальных углов. Чему равен этот угол?

15. Дима написал на доске семь различных натуральных чисел. Потом некоторые из них он умножил на 2, а остальные на 3. Какое наименьшее количество различных результатов он мог получить?

16. На острове живут рыцари и лжецы, всего 5 человек. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители поочередно выступили с заявлениями. Первый сказал: "Все мы лжецы". Остальные сказали: "Все, кто говорил до меня, лжецы". Сколько рыцарей на этом острове.

18. Квадратная скатерть украшена узором из 17 светлых квадратов (см. рисунок). Какая часть площади скатерти является тёмной?

19. Есть два числа: положительное и отрицательное. Какое из утверждений про эти числа обязательно верно?

20. Малыш Федя выложил в ряд 10 карточек с кенгуру. За один ход он меняет местами две соседние карточки, на которых кенгуру "смотрят" друг на друга. Через сколько ходов такие обмены станут невозможными?

21. Из неравенств 1) 2x > 70; 2) x < 100; 3) 4x > 25; 4) x > 10; 5) x >5 два верных и три неверных. Какие два неравенства верны?

22. Многоугольник совмещается сам с собой поворотом на 55°. Какое наименьшее количество вершин может быть у этого многоугольника?

23. Некоторые клетки в таблице 4 * 4 закрашены. Известно, что любая закрашенная клетка имеет общую сторону с незакрашенной, а любая незакрашенная клетка имеет общую сторону с закрашенной. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

24. Сколько существует таких натуральных числе N, что среди числе от 1 до N ровно 30% делятся на 3?

25. Навстречу друг другу едут два поезда. Скорость первого поезда равна 60 км/ч, а скорость второго - 50 км/ч. Длина первого поезда - 350 м, а длина второго - 420 м. Каково расстояние от точки, где встретятся начала этих поездов, до точки, где встретятся концы последних вагонов этих поездов?

26. Все натуральные делители натурального числа N выписаны по возрастанию. Известно, что произведение третьего и седьмого чисел в этом ряду равно N. Сколько делителей у числа N?

27. В некотором треугольнике все углы различны и каждый измеряется целым числом градусов. Малыш Федя сложил самый маленький и самый большой углы. Какой самый маленький результат он мог получить?

29. Ненулевую цифру А многозначного числа назовем "хорошей", если она встречается в этом числе ровно А раз. Сколько существует восьмизначных числе, цифры в которых слева направо не уменьшаются и не являются хорошими?

30. Треугольник АВС - равнобедренный (АВ = ВС), и угол АВС = 135°. Точка Е на основание АС такова, что угол АВЕ = 90°. Отрезок АD - биссектриса угла А. Найдите угол DEC.