Пусть — множество всех функций, заданных на одном и том же множестве . Определим на множестве операцию сложения. Если и — две произвольные функции множества , то функция
где — сумма действительных чисел и , так же принадлежит множеству . Ее называют суммой функций и и пишут
Операция сложения ассоциативна, то есть
ибо есть функция
а — функция
равная , в силу ассоциативности операции сложения действительных чисел.
Операция сложения коммутативна, т.е.
ибо , в силу коммутативности операции сложения действительных чисел.
Если означает функцию , которая каждому ставит в соответствие , то
следовательно, есть нейтральный элемент сложения.
Если же обозначить через функцию , то , т.е. всякая функция обладает симметричной функцией относительно только что введенной операции сложения.
Можно определить и вторую внутреннюю операцию на множестве — умножение функций. Двум произвольным функциям ставится в соответствие функция
где — произведение действительных чисел и .
Полученная таким образом функция называется произведением функции на функцию и пишут
Эта операция также ассоциативна и коммутативна.
Если единица означает функцию , то
следовательно, умножение обладает нейтральным элементом (функция тождественно равная единице). Операция умножения дистрибутивна относительно сложения
Таким образом рассматриваемое множество функций является коммутативным кольцом.
На множестве можно определить аналогично сложению и умножению также операции вычитания и деления функций.
( имеет смысл лишь при .
Определение кольца функции
Коммутативным кольцом называется множество для которого выполняются выше описанные свойства.