Кольцо функций: определение, обозначение, примеры

Пусть $М$ — множество всех функций, заданных на одном и том же множестве $X$ . Определим на множестве $М$ операцию сложения. Если $f$ и $g$ — две произвольные функции множества $М$ , то функция

$x\longrightarrow s(x)= f(x) + g(x),$

где $f(x) + g(x)$ — сумма действительных чисел $f(x)$ и $g(x)$ , так же принадлежит множеству $М$ . Ее называют суммой функций $f$ и $g$ и пишут

$s = f + g$

Операция сложения ассоциативна, то есть

$f + (g + h) = (f + g) + h ~~\forall f,g,h\in M,$

ибо $f + (g + h)$ есть функция

$x\longrightarrow f(x) + [g(x) + h(x)],$

а $(f + g) + h$ — функция

$x\longrightarrow [f(x) + g(x)] + h(x),$

равная $~f(x)+[g(x)+h(x)]$ , в силу ассоциативности операции сложения действительных чисел.

Операция сложения коммутативна, т.е.

$f + g = g + f ~~\forall f, g\in M.$

ибо $~\forall x\in X ~~f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$ , в силу коммутативности операции сложения действительных чисел.

Если $\nu(x)=0$ означает функцию $x\longrightarrow 0$ , которая каждому $x\in X$ ставит в соответствие $0\in R$ , то

$f + 0 = 0 + f = f ~~\forall f\in M,$

следовательно, $\nu(x)=0~$ есть нейтральный элемент сложения.

Если же $~\forall f\in M~$ обозначить через $~-f~$ функцию $~x\longrightarrow ~-f(x)$ , то $~f + (-f) = (-f) + f = 0$ , т.е. всякая функция $f\in M$ обладает симметричной функцией относительно только что введенной операции сложения.

Можно определить и вторую внутреннюю операцию на множестве $М$ — умножение функций. Двум произвольным функциям $f,g\in M$ ставится в соответствие функция