Кольцо функции

Пусть М — множество всех функций, заданных на одном и том же множестве X. Определим на множестве М операцию сложения. Если f и g — две произвольные функции множества М, то функция

    \[x\longrightarrow s(x)= f(x) + g(x),\]

где f(x) + g(x) — сумма действительных чисел f(x) и g(x), так же принадлежит множеству М. Ее называют суммой функций f и g и пишут

    \[s = f + g\]

Операция сложения ассоциативна, то есть 

    \[f + (g + h) = (f + g) + h ~~\forall f,g,h\in M,\]

ибо f + (g + h) есть функция

    \[x\longrightarrow f(x) + [g(x) + h(x)],\]

а (f + g) + h — функция

    \[x\longrightarrow [f(x) + g(x)] + h(x),\]

равная ~f(x)+[g(x)+h(x)], в силу ассоциативности операции сложения действительных чисел.

Операция сложения коммутативна, т.е.

    \[f + g = g + f ~~\forall f, g\in M.\]

ибо ~\forall x\in X ~~f(x)+g(x)=g(x)+f(x), в силу коммутативности операции сложения действительных чисел.

Если \nu(x)=0 означает функцию x\longrightarrow 0, которая каждому x\in X ставит в соответствие 0\in R, то

    \[f + 0 = 0 + f = f ~~\forall f\in M,\]

следовательно, \nu(x)=0~ есть нейтральный элемент сложения.

Если же ~\forall f\in M~ обозначить через ~-f~ функцию ~x\longrightarrow ~-f(x), то ~f + (-f) = (-f) + f = 0, т.е. всякая функция f\in M обладает симметричной функцией относительно только что введенной операции сложения.

Можно определить и вторую внутреннюю операцию на множестве М — умножение функций. Двум произвольным функциям f,g\in M ставится в соответствие функция

    \[x\longrightarrow p(x) = f(x)\cdot g(x),\]

где f(x)\cdot g(x) — произведение действительных чисел f(x) и g(x).

Полученная таким образом функция называется произведением функции f на функцию g и пишут

    \[p = f\cdot g.\]

Эта операция также ассоциативна и коммутативна.

Если единица означает функцию x\longrightarrow 1, то

    \[1\cdot f = f\cdot 1 = f ~~\forall f\in M,\]

следовательно, умножение обладает нейтральным элементом (функция тождественно равная единице). Операция умножения дистрибутивна относительно сложения

    \[f\cdot (g + h) = f\cdot g + f\cdot h,\]

    \[(g + h)\cdot f = g\cdot f + h\cdot f ~~\forall f,g,h\in M.\]

Таким образом рассматриваемое множество функций М является коммутативным кольцом.

На множестве М можно определить аналогично сложению и умножению также операции вычитания и деления функций.

    \[f - g : ~~x\longrightarrow f(x) - g(x),\]

    \[f/g : ~~x\longrightarrow f(x)/g(x)\]

(f/g имеет смысл лишь при g(x) \neq 0.

Определение кольца функции

Коммутативным кольцом называется множество М для которого выполняются выше описанные свойства.

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (голосов: 1, в среднем: 3,00 из 5)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *