Делители и кратные

В этой статье будет рассмотрена тема: «Делители и кратные», привен конспект со всеми необходимыми определениями и правилами, а также разобраны примеры. Итак, поехали. С основными понятиям данной темы принято знакомится в курсе математики за 5 класс.


Если одно число делится на другое, то для описания их взаимосвязи используются слова «делитель» и «кратное».

Если одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.

Делитель и кратное
Делитель и кратное

Делитель числа

Если число a делится на число b, то число b называют делителем числа a.

Пример #1. Найдем все делители числа 24.

Два делителя числа 24 очевидны. Это 1 и 24. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим еще шесть делителей: 2, 3, 4, 6, 8, 12. Таким образом, число 24 имеет 8 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Этот перебор можно сократить, если отыскав один делитель, записать сразу же и другой, являющийся частным от деления числа 24 на найденный делитель. Такие пары делителей удобно записывать друг под другом

1    2    3    4
24   12   8    6

Часто при решении задач приходится находить общие делители двух и более чисел. Возьмем какие-нибудь два числа, например, 30 и 45. Найдем все делители каждого из них и подчеркнем их общие делители

Делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Видим, что у чисел 30 и 45 есть общие делетели% 1, 3, 5, 15. Самый большой из них — чило 15. Его называют наибольшим общим делителем этих чисел.

С помощью перебора мы устновили, что НОД(30;45) = 15.

Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают так: НОД(a;b).

Кратные числа

Когда одно число делится на другое, то для описания их взаимосвязи употребляют не только слово «делитель», но и еще слово «кратное».

Если число a делится на число b, то говорят, что число a — кратное числа b (или число a кратно числу b).

Например, число 45 делится на 9. Можно сказать, что число 9 является делителем 45 или что число 45 — кратное числа 9.

«Кратный» — слово русского происхождения. «Кратный» означает «известное число разов» — так говорится в толковом словаре стариных терминов. Но в современном языке мы используем слова с корнем «крат», например: одногратно, многократно.

С помощью перебора можно найти все делители числа. А как обстоит дело с кратным?

Рассмотрим, к примеру, числа, кратные 10. Для этого будем последовательно умножать 10 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 10, 20, 30, 40, 50, … .

Эта последовательность, как и натуральный ряд, бесконечна, и все числа, кратные 10, выписать нельзя. Обратите внимание на то, как строится эта послдовательность: в ней первым идет число 10 и каждое следующее число на 10 больше предыдущего.

  • Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
  • Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
Возьмём какие-нибудь два числа, например 8 и 6. Любое число, делящееся на 8, и на 6, является их общим кратным, и таких чисел бесконечного много. Это, например, произведение чисел 8 и 6, равное 48, числа 96, 192, 240. Однако при решении многих задач важно знать наименьшее общее кратное рассматриваемых чисел.
Найдем наименьшее общее кратное 6 и 8. Будем перебирать числа, кратные большему из них, т.е. числу 8, и в кадом случае проверять, делится ли это кратное на 6. Число 8 на 6 не делится, число 16 также не делится, а вот число 24 уже делится на 6. На этом перебор можно закончить, так как число 24 — первое число в натуральнм ряду, которое делтся на 8 и на 6. Итак, НОК(6, 8) = 24.

Примеры и задачи по теме: «Делители и кратные»

Пример #2. Найдем все делители и кратные числа 8.
Решение:
Два делителя числа 8 очевидны. Это 1 и 8. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим еще два делителя: 2, 4. Таким образом, число 8 имеет 4 делителя: 1, 2, 4, 8.

Далее найдем числа кратные 8. Для этого будем последовательно умножать 8 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 8, 16, 24, 32, 40, …  — все эти числа являются кратными 8.


Пример #3. Найдем все делители и кратные числа 36.
Решение:
Два делителя числа 36 очевидны. Это 1 и 36. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим следующие делителя: 2, 18, 3, 12, 4, 9, 6. Таким образом, число 36 имеет 9 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Далее найдем числа кратные 36. Для этого будем последовательно умножать 36 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 36, 72, 108, 144, 180, …  — все эти числа кратны 36.


Пример #4. Найдем все делители и кратные числа 9.
Решение:
Два делителя числа 9 очевидны. Это 1 и 9. Далее будем проверять все числа подряд начиная с 2. Получим следующие делителя: 3. Таким образом, число 9 имеет 3 делителя: 1, 3, 9.

Далее найдем числа кратные 9. Для этого будем последовательно умножать 9 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 9, 18, 27, 36, 45, …  — все эти числа кратны 9.


Пример #5. Найдем все делители и кратные числа 2.
Решение:
Два делителя числа 2 очевидны. Это 1 и 2. Больше делителей у числа 2 нет. Таким образом, число 2 имеет 2 делителя: 1, 2.

Далее найдем числа кратные 2. Для этого будем последовательно умножать 2 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 2, 4, 6, 8, 10, …  — все эти числа кратны 2.


Пример #6. Найдем число делителей и кратные числа 5.

Решение:
Два делителя числа 5 очевидны. Это 1 и 5. Больше делителей у числа 5 нет. Таким образом, число 5 имеет 2 делителя: 1, 5.

Далее найдем числа кратные 5. Для этого будем последовательно умножать 5 на 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим следующую последовательность: 5, 10, 15, 20, 25, …  — все эти числа кратны 5.


Пример #7. Выбери все кратные числа 5: 1, 2, 5, 10, 15, 50, 51, 55.

Решение:
Вспомним таблицу умножения на 5
Из представленных числе кратно 5 следующие: 5, 10 ,15, 50, 55.


Итак мы рассмотрели как находить делители и кратные для числа. Если у вас остались вопросы — задавайте их в комментария.


Пример #8. Выбери все кратные числа 10: 1, 2, 5, 10, 15, 50, 70, 85.

Решение:
Вспомним таблицу умножения на 10. Из представленных числу 10 кратны следующие: 10, 50, 70.


Итак мы рассмотрели как находить делители и кратные для числа. Если у вас остались вопросы — задавайте их в комментария.


Пример #9. Каждый шаг волшебных сапог-скороходов составляет 7 миль. Сколько миль в них можно пройти?
Варианты ответа: 4 мили, 14 миль, 17 миль, 23 мили, 28 миль, 56 миль.
Решение:
Для решения данной задачи следует найти все числа кратные 7. Это 14, 28 и 56.
Ответ: В волшебных сапогах-скороходах можно пройти 14, 28 или 56 миль.


Итак мы рассмотрели как находить делители и кратные для числа. Если у вас остались вопросы — задавайте их в комментария.


Используемая литература:

  • Источник: Математика. Арифметика. Геометрия. Учебник. 5 класс. Бунемович Е.А., Дорофеев Г.В. Суворова С.Б и др.
Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (голосов: 3, в среднем: 5,00 из 5)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *