Геометрическая интерпретация функции одной переменной

Когда речь идет о функциях одной переменной $y = f(x), ~x\in X$ , то для наглядного представления о характере отображения $f: ~X\longrightarrow Y$ прибегают к изображению в плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат $Oxy$ , элементов множества $\{ (x, f(x))|~x\in X\}$ , которое принято называть графиком функции $y = f(x), ~x\in X$ .

Так, например, график функции

$y = 2x + 1, ~x\in R,$

имеет вид, изображенный на рисунке 2.1, график функции $y = sign x, ~x\in R$ , изображен на рис.2.2, а график функции $~y = x^{2}/4, ~x\in Z$ , состоит из отдельных точек (рисунок 2.3).

Рис.2.1

Рис.2.2

Рис.2.3

Итак, с каждой функцией связано некоторое множество точек плоскости $Oxy$ — график функции. Сказать «и обратно» было бы неверно — не каждое множество точек плоскости $Oxy$ представляет собой график функции.

Очевидно,что для того чтобы заданное в плоскости $Oxy$ множество точек являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы каждая вертикальная прямая пересекала это множество не более чем в одной точке.

Пусть это условие выполнено. Тогда: если вертикальная прямая, проходящая через точку $x = x_0$ не пересекает рассматриваемое множество, то $f(x_0)$ не определено; если же она пересекает множество в точке $(x_0,y_0)$ , то $f(x_0) = y_0$ .

Множество точек $L_{1}$ удовлетворяет нашему условию и является графиком некоторой функции. Эта функция определена на интервале $~(a,b)$ , состоящем из точек оси $Ox$ , расположенных непосредственно под $~L_1$ ( точка $x = x_0$ принадлежит области определения, а точка $x = x_{1}$ лежит вне области определения).

С другой стороны, множество точек $L_{2}$ не удовлетворяет нашему условию: имеются вертикальные прямые, пересекающие множество $L_{2}$ в двух точках. Множество $L_{2}$ не является поэтому графиком функции. В самом деле, если бы оно было графиком функции, то какое значение следовало бы сопоставить числу $x_{2}$ .

Преобразование графика функции

В некоторых случаях график функции $y = f(x)$ можно получить преобразованием графика другой «известной» функции $y = g(x)$ .

Приведем простейшие из этих случаев.

$y = f(x)$ — преобразование графика функции $y = g(x):$ .

$y = g(x) + a$ сдвиг графика функции $y = g(x)$ вдоль оси $Oy$ на $a$ единиц вверх, если $a>0$ , и вниз, если $a<0$ ;
$y = g(x-a)$ сдвиг графика функции $y = g(x)$ вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц вправо, если $a>0$ , и влево, если $a<0$ ;
$y = ag(x)$ умножение каждой ординаты точек графика функции $y = g(x)$ на $a$ ;
$y = g(ax)$ деление каждой абсциссы точек графика функции $y = g(x)$ на $a$ ;

В дальнейшем, говоря «функция», мы тут же будем представлять ее график, а строя график — говорить «функция» (подобно тому как мы часто не различаем точки прямой и числа).

Преобразование графика функции

Оставь комментарий Отменить ответ