Когда речь идет о функциях одной переменной , то для наглядного представления о характере отображения прибегают к изображению в плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат , элементов множества , которое принято называть графиком функции .
Так, например, график функции
имеет вид, изображенный на рисунке 2.1, график функции , изображен на рис.2.2, а график функции , состоит из отдельных точек (рисунок 2.3).
Итак, с каждой функцией связано некоторое множество точек плоскости — график функции. Сказать «и обратно» было бы неверно — не каждое множество точек плоскости представляет собой график функции.
Очевидно,что для того чтобы заданное в плоскости множество точек являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы каждая вертикальная прямая пересекала это множество не более чем в одной точке.
Пусть это условие выполнено. Тогда: если вертикальная прямая, проходящая через точку не пересекает рассматриваемое множество, то не определено; если же она пересекает множество в точке , то .
Множество точек удовлетворяет нашему условию и является графиком некоторой функции. Эта функция определена на интервале , состоящем из точек оси , расположенных непосредственно под ( точка принадлежит области определения, а точка лежит вне области определения).
С другой стороны, множество точек не удовлетворяет нашему условию: имеются вертикальные прямые, пересекающие множество в двух точках. Множество не является поэтому графиком функции. В самом деле, если бы оно было графиком функции, то какое значение следовало бы сопоставить числу .
Преобразование графика функции
В некоторых случаях график функции можно получить преобразованием графика другой «известной» функции .
Приведем простейшие из этих случаев.
— преобразование графика функции .
- сдвиг графика функции вдоль оси на единиц вверх, если , и вниз, если ;
- сдвиг графика функции вдоль оси на единиц вправо, если , и влево, если ;
- умножение каждой ординаты точек графика функции на ;
- деление каждой абсциссы точек графика функции на ;
В дальнейшем, говоря «функция», мы тут же будем представлять ее график, а строя график — говорить «функция» (подобно тому как мы часто не различаем точки прямой и числа).