Геометрическая интерпретация функции одной переменной

Когда речь идет о функциях одной переменной y = f(x), ~x\in X, то для наглядного представления о характере отображения f: ~X\longrightarrow Y прибегают к изображению в плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат Oxy, элементов множества \{ (x, f(x))|~x\in X\}, которое принято называть графиком функции y = f(x), ~x\in X.

Так, например, график функции

    \[y = 2x + 1, ~x\in R,\]

имеет вид, изображенный на рисунке 2.1, график функции y = sign x, ~x\in R, изображен на рис.2.2, а график функции ~y = x^{2}/4, ~x\in Z, состоит из отдельных точек (рисунок 2.3).

График функции y=2x+1
Рис.2.1
График функции y=sign(x)
Рис.2.2
График функции одной переменной
Рис.2.3

Итак, с каждой функцией связано некоторое множество точек плоскости Oxy — график функции. Сказать «и обратно» было бы неверно — не каждое множество точек плоскости Oxy представляет собой график функции.

Очевидно,что для того чтобы заданное в плоскости Oxy множество точек являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы каждая вертикальная прямая пересекала это множество не более чем в одной точке.

Пусть это условие выполнено. Тогда: если вертикальная прямая, проходящая через точку x = x_0 не пересекает рассматриваемое множество, то f(x_0) не определено; если же она пересекает множество в точке (x_0,y_0), то f(x_0) = y_0.

Множество точек L_{1} удовлетворяет нашему условию и является графиком некоторой функции. Эта функция определена на интервале ~(a,b), состоящем из точек оси Ox, расположенных непосредственно под ~L_1 ( точка x = x_0 принадлежит области определения, а точка x = x_{1} лежит вне области определения).

С другой стороны, множество точек L_{2} не удовлетворяет нашему условию: имеются вертикальные прямые, пересекающие множество L_{2} в двух точках. Множество L_{2} не является поэтому графиком функции. В самом деле, если бы оно было графиком функции, то какое значение следовало бы сопоставить числу x_{2}.

Преобразование графика функции

В некоторых случаях график функции y = f(x) можно получить преобразованием графика другой «известной» функции y = g(x).

Приведем простейшие из этих случаев.

y = f(x) — преобразование графика функции y = g(x):.

  • y = g(x) + a сдвиг графика функции y = g(x) вдоль оси Oy на a единиц вверх, если a>0, и вниз, если a<0;
  • y = g(x-a) сдвиг графика функции y = g(x) вдоль оси Ox на a единиц вправо, если a>0, и влево, если a<0;
  • y = ag(x) умножение каждой ординаты точек графика функции y = g(x) на a;
  • y = g(ax) деление каждой абсциссы точек графика функции y = g(x) на a;

В дальнейшем, говоря «функция», мы тут же будем представлять ее график, а строя график — говорить «функция» (подобно тому как мы часто не различаем точки прямой и числа).

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *