Когда речь идет о функциях одной переменной , то для наглядного представления о характере отображения
прибегают к изображению в плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат
, элементов множества
, которое принято называть графиком функции
.
Так, например, график функции
имеет вид, изображенный на рисунке 2.1, график функции , изображен на рис.2.2, а график функции
, состоит из отдельных точек (рисунок 2.3).



Итак, с каждой функцией связано некоторое множество точек плоскости — график функции. Сказать «и обратно» было бы неверно — не каждое множество точек плоскости
представляет собой график функции.
Очевидно,что для того чтобы заданное в плоскости множество точек являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы каждая вертикальная прямая пересекала это множество не более чем в одной точке.
Пусть это условие выполнено. Тогда: если вертикальная прямая, проходящая через точку не пересекает рассматриваемое множество, то
не определено; если же она пересекает множество в точке
, то
.
Множество точек удовлетворяет нашему условию и является графиком некоторой функции. Эта функция определена на интервале
, состоящем из точек оси
, расположенных непосредственно под
( точка
принадлежит области определения, а точка
лежит вне области определения).
С другой стороны, множество точек не удовлетворяет нашему условию: имеются вертикальные прямые, пересекающие множество
в двух точках. Множество
не является поэтому графиком функции. В самом деле, если бы оно было графиком функции, то какое значение следовало бы сопоставить числу
.
Преобразование графика функции
В некоторых случаях график функции можно получить преобразованием графика другой «известной» функции
.
Приведем простейшие из этих случаев.
— преобразование графика функции
.
сдвиг графика функции
вдоль оси
на
единиц вверх, если
, и вниз, если
;
сдвиг графика функции
вдоль оси
на
единиц вправо, если
, и влево, если
;
умножение каждой ординаты точек графика функции
на
;
деление каждой абсциссы точек графика функции
на
;
В дальнейшем, говоря «функция», мы тут же будем представлять ее график, а строя график — говорить «функция» (подобно тому как мы часто не различаем точки прямой и числа).