Определение функции одной переменной

В п.1.1 ~\S~1 определена функция — отображение множества X в (на) множество Y. Если в этом определении в качестве рассматриваемых множеств взять множества действительных чисел X = \{ x\}~\subseteq R и Y = \{ y\}~\subseteq R, то полученная при этом функция называется действительной функцией действительного переменного, которая для краткости в дальнейшем будет называться просто функцией одной переменной x и обозначаться

    \[y = f(x), ~x\in X. ~~~~~~(2.1)\]

Кроме буквы f для обозначения функций, как было сказано выше, будут использованы и другие буквы, например, g,F,\varphi и дp.

Другими буквами могут обозначаться также множества X, Y и их элементы.

Обращение к записи (2.1) объясняется тем, что в различных аналитических преобразованиях проще пользоваться ею, чем f: ~~X\longrightarrow Y или X\stackrel{f}{\longrightarrow} Y. При этом говорят, что функция f ставит в соответствие числу x\in X число y\in Y или число y\in Y соответствует числу x\in X.

Множество X называют областью определения функции f, x — независимой переменной (или аргументом); множество \{y\in R|~y=f(x)\} — множеством значений функции, а y — зависимой переменной.

Область определения функции f иногда обозначают через D_{f}, а множество ее значений — через E_{f}.

Функции y = f(x), ~x\in D_{f}, и y = g(x), ~x\in D_{g}, называются равными на множестве G\subseteq D_{f}\cap D_{g}, если f(x) = g(x) ~~\forall x\in G и пишут f = g.

Приведем некоторые примеры функций с использованием введенных выше обозначений.

1. ~y = 2x + 1, ~~~~x\in R,

    \[( D_{f} = R, ~~E_{f} = R ).\]

2. ~y = \sqrt{1 - x^{2}}, ~~~~x\in [ -1, 1 ],

    \[( D_{f} = [ -1, 1 ], ~~E_{f} = [ 0, 1 ] ).\]

3. ~y = n!, ~~~~n\in N, (n! = 1\cdot 2\cdot ... \cdot n, читается: «n факториал» )

    \[(D_{f} = N, ~~~E_{f} = \{ 1, 2, 6, 24,..., n!,... \};\]

4. ~y = [x], ~~~~x\in R, (читается: «y равен антье x«- от французского entier — целый ). Эта функция каждому x\in R ставит в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее x
( [0] = 0, ~[3/10] = 0, ~[2,5] = 2,~~~[-2,6] = -3 и т.д.

Отметим, что функции, у которых всем значениям x\in X соответствует одно и тоже число, т.е. функции, у которых при изменении значений аргумента значение функции не меняется, называются постоянными( на множестве X ).

Функция, областью определение которой является множество натуральных чисел

    \[y = f(n), ~~~n\in N,\]

называется функцией натурального аргумента или последовательностью, а значения этой функции — членами (элементами) последовательности.

Члены последовательности обычно располагают в порядке возрастания аргумента:

    \[y_{1} = f(1), ~y_{2} = f(2),~...~, ~y_{n} = f(n),... ~~~~~~(2.2)\]

y_{1} =f(1) ~называется первым членом последовательности, y_{2} = f(2) — вторым членом и т.д. y_{n} = f(n) называется n-м или общим членом последовательности. Сокращенно последовательность (2.2) обозначают символом \{y_{n}\}.

Примеры последовательностей

1. ~~\{y_{n}\} = \{ n! \}.

    \[y_{1} = 1! = 1, ~~y_{2} = 2! = 2, ~~y_{3} = 3! = 6, ~~y_{4} = 4! = 24,...,\]

2. ~~\{y_{n}\} = \{ 1/n^{2} \}.

    \[y_{1} = 1, ~~y_{2} = 1/2^{2} = 1/4, ~~y_{3} = 1/3^{2} = 1/9,...\]

3. ~~y_{n} = \{ (-1)^{n} \}.

    \[y_{1} = -1, ~~y_{2} = 1, ~~y_{3} = -1, ~~y_{4} = 1,...\]

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *