Определение функции одной переменной: определение, примеры

В п.1.1 $~\S~1$ определена функция — отображение множества $X$ в (на) множество $Y$ . Если в этом определении в качестве рассматриваемых множеств взять множества действительных чисел $X = \{ x\}~\subseteq R$ и $Y = \{ y\}~\subseteq R$ , то полученная при этом функция называется действительной функцией действительного переменного, которая для краткости в дальнейшем будет называться просто функцией одной переменной $x$ и обозначаться

$y = f(x), ~x\in X. ~~~~~~(2.1)$

Кроме буквы $f$ для обозначения функций, как было сказано выше, будут использованы и другие буквы, например, $g,F,\varphi$ и дp.

Другими буквами могут обозначаться также множества $X$ , $Y$ и их элементы.

Обращение к записи (2.1) объясняется тем, что в различных аналитических преобразованиях проще пользоваться ею, чем $f: ~~X\longrightarrow Y$ или $X\stackrel{f}{\longrightarrow} Y$ . При этом говорят, что функция $f$ ставит в соответствие числу $x\in X$ число $y\in Y$ или число $y\in Y$ соответствует числу $x\in X$ .

Множество $X$ называют областью определения функции $f$ , $x$ — независимой переменной (или аргументом); множество $\{y\in R|~y=f(x)\}$ — множеством значений функции, а $y$ — зависимой переменной.

Область определения функции $f$ иногда обозначают через $D_{f}$ , а множество ее значений — через $E_{f}$ .

Функции $y = f(x), ~x\in D_{f}$ , и $y = g(x), ~x\in D_{g}$ , называются равными на множестве $G\subseteq D_{f}\cap D_{g}$ , если $f(x) = g(x) ~~\forall x\in G$ и пишут $f = g$ .

Приведем некоторые примеры функций с использованием введенных выше обозначений.

$1. ~y = 2x + 1, ~~~~x\in R$ ,

$( D_{f} = R, ~~E_{f} = R ).$

$2. ~y = \sqrt{1 - x^{2}}, ~~~~x\in [ -1, 1 ]$ ,

$( D_{f} = [ -1, 1 ], ~~E_{f} = [ 0, 1 ] ).$

$3. ~y = n!, ~~~~n\in N$ , $(n! = 1\cdot 2\cdot ... \cdot n$ , читается: « $n$ факториал» )

$(D_{f} = N, ~~~E_{f} = \{ 1, 2, 6, 24,..., n!,... \};$

$4. ~y = [x], ~~~~x\in R$ , (читается: « $y$ равен антье $x$ «- от французского $entier$ — целый ). Эта функция каждому $x\in R$ ставит в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее $x$
$( [0] = 0, ~[3/10] = 0, ~[2,5] = 2,~~~[-2,6] = -3$ и т.д.

Отметим, что функции, у которых всем значениям $x\in X$ соответствует одно и тоже число, т.е. функции, у которых при изменении значений аргумента значение функции не меняется, называются постоянными( на множестве $X$ ).

Функция, областью определение которой является множество натуральных чисел

$y = f(n), ~~~n\in N,$

называется функцией натурального аргумента или последовательностью, а значения этой функции — членами (элементами) последовательности.

Члены последовательности обычно располагают в порядке возрастания аргумента:

$y_{1} = f(1), ~y_{2} = f(2),~...~, ~y_{n} = f(n),... ~~~~~~(2.2)$

$y_{1} =f(1)$ ~называется первым членом последовательности, $y_{2} = f(2)$ — вторым членом и т.д. $y_{n} = f(n)$ называется $n$ -м или общим членом последовательности. Сокращенно последовательность (2.2) обозначают символом $\{y_{n}\}$ .