Пусть — отображение множества на множество , а — отображение множества во множество , тогда функция , заданная соотношением , называется сложной функцией (иногда композицией функций и ), символически обозначаемой .
Итак,
Пpимеp.
Очевидно, что , вообще говоря, отличается от , причем последний символ может не иметь смысла, поскольку есть отображение на , а — отображение в . Следовательно, операция в общем случае не коммутативна.
Напротив, она ассоциативна: если есть отображение в ~, то ~.
Действительно, пусть ; тогда и ; точно так же .
Если — взаимно однозначное отображение на , то есть отображение на , а есть тождественное отображение множества . Точно так же есть тождественное отображение множества .
Если же — взаимно однозначное отображение на , а — взаимно однозначное отображение на , то есть взаимно однозначное отображение на , и .