Сложная функция

Пусть f — отображение множества X на множество U, а g — отображение множества U во множество Y, тогда функция \varphi:~~X\longrightarrow Y, заданная \forall x\in X соотношением \varphi(x) = g [f(x)], называется сложной функцией (иногда композицией функций f и g), символически обозначаемой g\circ f.

Итак,

    \[(g\circ f)(x) \stackrel{def}{=} g(f(x)),~~x\in X.\]

Пpимеp.

    \[f:~~R\longrightarrow R,~~f(x) = x + 1; ~g:~~R^{+}\longrightarrow R^{+},~~g(x) = x^{1/2}.\]

    \[\varphi(x) = ( g\circ f )(x) = ( x + 1 )^{1/2}, ~x\in \{ x\in R|~x+1>0 \}.\]

Очевидно, что g\circ f, вообще говоря, отличается от f\circ g, причем последний символ может не иметь смысла, поскольку f есть отображение X на U, а g — отображение U в Y. Следовательно, операция ~\circ ~ в общем случае не коммутативна.

Напротив, она ассоциативна: если h есть отображение Y в ~H, то ~h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.

Действительно, пусть f(x)=u,~~g(u)=y,~~h(y)=w; тогда (g\circ f)(x)=g(u)=y и [h\circ (g\circ f)](x)=h(y)=w; точно так же [(h\circ g)\circ f](x)=(h\circ g)(u)=h(y)=w.

Если f — взаимно однозначное отображение X на U, то f^{-1} есть отображение U на X, а f^{-1}\circ f есть тождественное отображение множества X. Точно так же f\circ f^{-1} есть тождественное отображение множества U.

Если же f — взаимно однозначное отображение X на U, а g — взаимно однозначное отображение U на Y, то g\circ f есть взаимно однозначное отображение X на Y, и (g\circ f)^{-1}=-f^{-1}\circ g^{-1}.

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *