Сложная функция: определение, формула, примеры

Пусть $f$ — отображение множества $X$ на множество $U$ , а $g$ — отображение множества $U$ во множество $Y$ , тогда функция $\varphi:~~X\longrightarrow Y$ , заданная $\forall x\in X$ соотношением $\varphi(x) = g [f(x)]$ , называется сложной функцией (иногда композицией функций $f$ и $g$ ), символически обозначаемой $g\circ f$ .

Итак,

$(g\circ f)(x) \stackrel{def}{=} g(f(x)),~~x\in X.$

Пpимеp.

$f:~~R\longrightarrow R,~~f(x) = x + 1; ~g:~~R^{+}\longrightarrow R^{+},~~g(x) = x^{1/2}.$

$\varphi(x) = ( g\circ f )(x) = ( x + 1 )^{1/2}, ~x\in \{ x\in R|~x+1>0 \}.$

Очевидно, что $g\circ f$ , вообще говоря, отличается от $f\circ g$ , причем последний символ может не иметь смысла, поскольку $f$ есть отображение $X$ на $U$ , а $g$ — отображение $U$ в $Y$ . Следовательно, операция $~\circ ~$ в общем случае не коммутативна.

Напротив, она ассоциативна: если $h$ есть отображение $Y$ в ~ $H$ , то ~ $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .

Действительно, пусть $f(x)=u,~~g(u)=y,~~h(y)=w$ ; тогда $(g\circ f)(x)=g(u)=y$ и $[h\circ (g\circ f)](x)=h(y)=w$ ; точно так же $[(h\circ g)\circ f](x)=(h\circ g)(u)=h(y)=w$ .

Если $f$ — взаимно однозначное отображение $X$ на $U$ , то $f^{-1}$ есть отображение $U$ на $X$ , а $f^{-1}\circ f$ есть тождественное отображение множества $X$ . Точно так же $f\circ f^{-1}$ есть тождественное отображение множества $U$ .

Если же $f$ — взаимно однозначное отображение $X$ на $U$ , а $g$ — взаимно однозначное отображение $U$ на $Y$ , то $g\circ f$ есть взаимно однозначное отображение $X$ на $Y$ , и $(g\circ f)^{-1}=-f^{-1}\circ g^{-1}$ .

Оставь комментарий Отменить ответ