Пусть — отображение множества
на множество
, а
— отображение множества
во множество
, тогда функция
, заданная
соотношением
, называется сложной функцией (иногда композицией функций
и
), символически обозначаемой
.
Итак,
Пpимеp.
Очевидно, что , вообще говоря, отличается от
, причем последний символ может не иметь смысла, поскольку
есть отображение
на
, а
— отображение
в
. Следовательно, операция
в общем случае не коммутативна.
Напротив, она ассоциативна: если есть отображение
в ~
, то ~
.
Действительно, пусть ; тогда
и
; точно так же
.
Если — взаимно однозначное отображение
на
, то
есть отображение
на
, а
есть тождественное отображение множества
. Точно так же
есть тождественное отображение множества
.
Если же — взаимно однозначное отображение
на
, а
— взаимно однозначное отображение
на
, то
есть взаимно однозначное отображение
на
, и
.