Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать натуральными числами. Такие множества называются несчетными.
Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка неcчетно.
Доказательство. Допустим, что все числа отрезка могут быть перенумерованы:
Разделим отрезок на три равные части и из трех полученных отрезков выберем тот, который не содержит
обозначим этот отрезок через
. Отрезок
делим на три равные части и выберем из них тот отрезок, который не содержит
; обозначим его через
. Когда таким образом будут построены отрезки
обозначим через ту из трех равных третей отрезка
, который не содержит
; и т.д. Система вложенных отрезков
~ в силу теоремы 8.1 имеет точку
и следовательно, не может совпадать ни с одной из
Это показывает, что счетное множество
не может исчерпать всех точек отрезка
, вопреки допущению. Теорема доказана.
Всякое множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка , называется множеством мощности континуума.
Например, любой отрезок является множеством мощности континуума, так как
( пример 10.2(3)).
Интервал (0.1) — множество мощности континуума.
Утверждение будет доказано, если установим что . Выберем на отрезке
и интервале
множество
Точке отрезка
поставим в соответствие точку
интервала
; точке 1 отрезка
поставим в соответствие точку
интервала
; далее точке
отрезка
поставим в соответствие точку
интервала
и т.д., точке
отрезка
поставим в соответствие точку
интервала
. Всем остальным точкам отрезка поставим в соответствие те же точки интервала. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между отрезком
и интервалом
установлено и, следовательно,
.
Множество действительных чисел — множество мощности континуума.
Действительно, , так как
Множество — множество мощности континуума.
Действительно, интервал — множество мощности континуума, а соответствие
устанавливает эквивалентность интервала и всей числовой оси.