Множества мощности континуума

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать натуральными числами. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка ~[0,1]~ неcчетно.

Доказательство. Допустим, что все числа отрезка ~[0,1]~ могут быть перенумерованы:

    \[x_1,~x_2,~...,~x_n,~...\]

Разделим отрезок ~[0,1]~ на три равные части и из трех полученных отрезков выберем тот, который не содержит ~x_1;~ обозначим этот отрезок через ~\bigtriangleup_1~. Отрезок ~\bigtriangleup_1~ делим на три равные части и выберем из них тот отрезок, который не содержит ~x_2; обозначим его через ~\bigtriangleup_2. Когда таким образом будут построены отрезки

    \[~\bigtriangleup_1 \supset \bigtriangleup_2 \supset ... \supset \bigtriangleup_n,~\]

обозначим через ~\bigtriangleup_{n+1}~ ту из трех равных третей отрезка ~\bigtriangleup_n, который не содержит ~x_{n+1}~; и т.д. Система вложенных отрезков ~\bigtriangleup_1 \supset \bigtriangleup_2 \supset ...~ в силу теоремы 8.1 имеет точку ~\xi\in \bigtriangleup_n,~n=1,2,..,~ и следовательно, не может совпадать ни с одной из ~x_n,~n=1,2,...n.~ Это показывает, что счетное множество ~x_1,~x_2,~...,~x_n,~... не может исчерпать всех точек отрезка ~[0,1], вопреки допущению. Теорема доказана.

Всякое множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка ~[0,1], называется множеством мощности континуума.

Например, любой отрезок ~[a,b]~ является множеством мощности континуума, так как [a,b]\sim [0,1]~( пример 10.2(3)).

Интервал (0.1) — множество мощности континуума.

Утверждение будет доказано, если установим что ~[0,1]\sim (0,1). Выберем на отрезке ~[0,1]~ и интервале ~(0,1)~ множество

    \[\left\{\frac{1}{2},~\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...\right\}.\]

Точке ~0~ отрезка ~[0,1]~ поставим в соответствие точку ~\frac{1}{2}~ интервала ~(0,1); точке 1 отрезка ~[0,1]~ поставим в соответствие точку ~\frac{1}{3}~ интервала ~(0,1); далее точке ~\frac{1}{2}~ отрезка ~[0,1]~ поставим в соответствие точку ~\frac{1}{4}~ интервала ~(0,1)~ и т.д., точке ~\frac{1}{n}~ отрезка ~[0,1]~ поставим в соответствие точку ~\frac{1}{n+2}~ интервала ~(0,1),~n\geq 2. Всем остальным точкам отрезка поставим в соответствие те же точки интервала. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между отрезком ~[0,1]~ и интервалом ~(0,1)~ установлено и, следовательно, ~[0,1]~\sim (0,1).

Множество действительных чисел ~(a,b) — множество мощности континуума.

Действительно, (a,b)\sim (0,1), так как

    \[[~x\in (0,1)~] \leftrightarrow [~y=a+(b-a)x\in (a,b)~].\]

Множество ~R~ — множество мощности континуума.

Действительно, интервал ~(-1,1) — множество мощности континуума, а соответствие

    \[[~x\in (-1,1)~] \leftrightarrow [~y=\frac{x}{1-x^2}\in (-\infty,\infty)~].\]

устанавливает эквивалентность интервала ~(-1,1)~ и всей числовой оси.

Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (голосов: 1, в среднем: 5,00 из 5)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *