Множества мощности континуума | Несчетные множества

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать натуральными числами. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка $~[0,1]~$ неcчетно.

Доказательство. Допустим, что все числа отрезка $~[0,1]~$ могут быть перенумерованы:

$x_1,~x_2,~...,~x_n,~...$

Разделим отрезок $~[0,1]~$ на три равные части и из трех полученных отрезков выберем тот, который не содержит $~x_1;~$ обозначим этот отрезок через $~\bigtriangleup_1~$ . Отрезок $~\bigtriangleup_1~$ делим на три равные части и выберем из них тот отрезок, который не содержит $~x_2$ ; обозначим его через $~\bigtriangleup_2$ . Когда таким образом будут построены отрезки

$~\bigtriangleup_1 \supset \bigtriangleup_2 \supset ... \supset \bigtriangleup_n,~$

обозначим через $~\bigtriangleup_{n+1}~$ ту из трех равных третей отрезка $~\bigtriangleup_n$ , который не содержит $~x_{n+1}~$ ; и т.д. Система вложенных отрезков $~\bigtriangleup_1 \supset \bigtriangleup_2 \supset ...$ ~ в силу теоремы 8.1 имеет точку $~\xi\in \bigtriangleup_n,~n=1,2,..,~$ и следовательно, не может совпадать ни с одной из $~x_n,~n=1,2,...n.~$ Это показывает, что счетное множество $~x_1,~x_2,~...,~x_n,~...$ не может исчерпать всех точек отрезка $~[0,1]$ , вопреки допущению. Теорема доказана.

Всякое множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка $~[0,1]$ , называется множеством мощности континуума.

Например, любой отрезок $~[a,b]~$ является множеством мощности континуума, так как $[a,b]\sim [0,1]~$ ( пример 10.2(3)).

Интервал (0.1) — множество мощности континуума.

Утверждение будет доказано, если установим что $~[0,1]\sim (0,1)$ . Выберем на отрезке $~[0,1]~$ и интервале $~(0,1)~$ множество

$\left\{\frac{1}{2},~\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...\right\}.$

Точке $~0~$ отрезка $~[0,1]~$ поставим в соответствие точку $~\frac{1}{2}~$ интервала $~(0,1)$ ; точке 1 отрезка $~[0,1]~$ поставим в соответствие точку $~\frac{1}{3}~$ интервала $~(0,1)$ ; далее точке $~\frac{1}{2}~$ отрезка $~[0,1]~$ поставим в соответствие точку $~\frac{1}{4}~$ интервала $~(0,1)~$ и т.д., точке $~\frac{1}{n}~$ отрезка $~[0,1]~$ поставим в соответствие точку $~\frac{1}{n+2}~$ интервала $~(0,1),~n\geq 2$ . Всем остальным точкам отрезка поставим в соответствие те же точки интервала. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между отрезком $~[0,1]~$ и интервалом $~(0,1)~$ установлено и, следовательно, $~[0,1]~\sim (0,1)$ .