Счетные множества

Определение. Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называют счетным множеством.

Можно сказать иначе: множество счетно, если все его элементы можно занумеровать всеми натуральными числами.

Всякое бесконечное подмножество A счетного множества B счетно.

Действительно, пусть дано счетное множество

    \[B = \{x_1, x_2,...,x_n,...\},\]

а A — его бесконечное подмножество. Располагая в порядке возрастания номеров все элементы подмножества A

    \[x_{n_1}, x_{n_2},...,x_{n_k},... ~~(~n_1 < n_2 <...< n_k < ...),\]

можно перенумеровать их заново всеми натуральными числами, взятыми по порядку (в роли нового номера будет выступать индекс k. Следовательно, А счетно.

Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Объединением множеств ~A_n~ называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, и обозначается через ~\bigcup_{n} A_n.

Рассмотрим сначала случай конечного числа множеств. Пусть даны счетные множества

    \[A_1=\{a_{11},~a_{12},...,a_{1n},...\},\]

    \[A_2=\{a_{21},~a_{22},...,a_{2n}...\},\]

    \[..........................\;\;\;\;\;(*)\]

    \[A_n=\{a_{m1},~a_{m2},...,a_{mn},...\}\]

и

    \[A=\bigcup_{i=1}^{n} A_i.\]

Выпишем элементы множеств ~A_i~ в виде следующей таблицы:

    \[a_{11}, ~a_{12},~...,~a_{1n},~...\]

    \[a_{21}, ~a_{22},~...,~a_{2n},~...\]

    \[.......................\]

    \[a_{m1}, ~a_{m2},~...,~a_{mn},~...\]

Теперь перенумеруем заново все элементы этой таблицы, располагая их по столбцам:

    \[a_{11},a_{21},...,a_{m1}, a_{12},a_{22},~...,a_{m2},..., a_{1n},a_{2n},...,a_{mn},...\]

Если множества ~A_i~ содержат некоторые общие элементы, то один и тот же элемент может повториться несколько раз. В этом случае нумеруем его только один раз, например, тогда, когда этот элемент встретится впервые и пропускаем при последующих встречах с ним. Таким образом, все элементы множества A могут быть перенумерованы, т.е. A счетно.

Пусть теперь

    \[A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i,\]

где все множества ~A_i~ счетны. Выпишем элементы множеств ~A_i~ в виде таблицы, аналогичной таблице (*), но содержащей счетное множество строк. Элементы такой таблицы можно перенумеровать располагая их по группам элементов с равной суммой индексов:

    \[a_{11};~a_{21},~a_{12};~a_{31},~a_{22},~a_{13};~a_{41},~a_{32},~a_{23},~ a_{14};~...\]

При этом повторяющиеся элементы так же, как и в предыдущем случае, нумеруем по одному разу. Таким образом, все элементы множества A могут быть перенумерованы, т.е. множество ~A~ счетно.

Множество ~Q~ всех рациональных чисел счетно.

Действительно, множество всех рациональных чисел есть объединение следующих счетных множеств:

    \[A_1=\left\{\frac{n}{1} |~n=0, \pm1,\pm2,...\right\},\]

    \[A_2=\left\{\frac{n}{2 } |~n=0, \pm1,\pm2,...\right\},\]

    \[........................\]

    \[A_k=\left\{\frac{n}{k} |~n=0, \pm1,\pm2,...\right\},\]

    \[........................\]

т.е. ~Q=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k. Множества ~A_k,~k=1,2,...~, составляют счетную совокупность счетных множеств. Из 11.3 следует, что их объединение ~Q~ счетно.

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *