Счетные множества: определение, введение понятия

Определение. Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называют счетным множеством.

Можно сказать иначе: множество счетно, если все его элементы можно занумеровать всеми натуральными числами.

Всякое бесконечное подмножество $A$ счетного множества $B$ счетно.

Действительно, пусть дано счетное множество

$B = \{x_1, x_2,...,x_n,...\},$

а $A$ — его бесконечное подмножество. Располагая в порядке возрастания номеров все элементы подмножества $A$

$x_{n_1}, x_{n_2},...,x_{n_k},... ~~(~n_1 < n_2 <...< n_k < ...),$

можно перенумеровать их заново всеми натуральными числами, взятыми по порядку (в роли нового номера будет выступать индекс $k$ . Следовательно, $А$ счетно.

Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Объединением множеств $~A_n~$ называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, и обозначается через $~\bigcup_{n} A_n$ .

Рассмотрим сначала случай конечного числа множеств. Пусть даны счетные множества

$A_1=\{a_{11},~a_{12},...,a_{1n},...\},$

$A_2=\{a_{21},~a_{22},...,a_{2n}...\},$

$..........................\;\;\;\;\;(*)$

$A_n=\{a_{m1},~a_{m2},...,a_{mn},...\}$

$A=\bigcup_{i=1}^{n} A_i.$

Выпишем элементы множеств $~A_i~$ в виде следующей таблицы:

$a_{11}, ~a_{12},~...,~a_{1n},~...$

$a_{21}, ~a_{22},~...,~a_{2n},~...$

$.......................$

$a_{m1}, ~a_{m2},~...,~a_{mn},~...$

Теперь перенумеруем заново все элементы этой таблицы, располагая их по столбцам:

$a_{11},a_{21},...,a_{m1}, a_{12},a_{22},~...,a_{m2},..., a_{1n},a_{2n},...,a_{mn},...$

Если множества $~A_i~$ содержат некоторые общие элементы, то один и тот же элемент может повториться несколько раз. В этом случае нумеруем его только один раз, например, тогда, когда этот элемент встретится впервые и пропускаем при последующих встречах с ним. Таким образом, все элементы множества $A$ могут быть перенумерованы, т.е. $A$ счетно.

Пусть теперь

$A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i,$

где все множества $~A_i~$ счетны. Выпишем элементы множеств $~A_i~$ в виде таблицы, аналогичной таблице $(*)$ , но содержащей счетное множество строк. Элементы такой таблицы можно перенумеровать располагая их по группам элементов с равной суммой индексов:

$a_{11};~a_{21},~a_{12};~a_{31},~a_{22},~a_{13};~a_{41},~a_{32},~a_{23},~ a_{14};~...$

При этом повторяющиеся элементы так же, как и в предыдущем случае, нумеруем по одному разу. Таким образом, все элементы множества $A$ могут быть перенумерованы, т.е. множество $~A~$ счетно.

Множество $~Q~$ всех рациональных чисел счетно.

Действительно, множество всех рациональных чисел есть объединение следующих счетных множеств:

$A_1=\left\{\frac{n}{1} |~n=0, \pm1,\pm2,...\right\},$

$A_2=\left\{\frac{n}{2 } |~n=0, \pm1,\pm2,...\right\},$

$........................$

$A_k=\left\{\frac{n}{k} |~n=0, \pm1,\pm2,...\right\},$

$........................$

т.е. $~Q=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ . Множества $~A_k,~k=1,2,...~$ , составляют счетную совокупность счетных множеств. Из 11.3 следует, что их объединение $~Q~$ счетно.

Оставь комментарий Отменить ответ