Расширенное множество действительных чисел

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел $R$ элементами, обозначаемыми через $~+\infty~$ и $~-\infty~$ и называемые соответственно плюс и минус бесконечностями, считая при этом, что, по определению

$-\infty<+\infty ,~~R=(-\infty,~+\infty),$

$(+\infty)+(+\infty)=+\infty,~~(-\infty)+(-\infty)=-\infty,$

$(+\infty)\cdot (+\infty)=(-\infty)\cdot (-\infty)=+\infty$

$(+\infty)\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty.$

Но, например, операции $~(+\infty) + (-\infty),~~\frac {+\infty}{+\infty}~$ уже не определены.

Кроме того, для $~\forall x \in R~$ по определению полагается выполненным неравенство

$-\infty < x < +\infty$

и справедливость следующих операций:

$a + (+\infty) = +\infty + a = +\infty, ~-\infty + a = a + (-\infty) = -\infty;$

для~ $a > 0$ ~

$a (+\infty) = (+\infty)\cdot a = +\infty, ~a\cdot(-\infty) = (-\infty)\cdot a = -\infty;$

для $a < 0$

$a (+\infty) = (+\infty)\cdot a = -\infty, ~a (-\infty) = (-\infty)\cdot a = +\infty.$

Множество действительных чисел $~R$ , дополненное элементами $~+\infty ~$ и $~-\infty$ , называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через $~\overline{R}$ . Элементы $~+\infty ~$ и $~-\infty$ называют также бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой в противопоставлении точкам числовой прямой $~R$ , которые называют также и конечными точками.

Оставь комментарий Отменить ответ