Расширенное множество действительных чисел

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел R элементами, обозначаемыми через ~+\infty~ и ~-\infty~ и называемые соответственно плюс и минус бесконечностями, считая при этом, что, по определению

    \[-\infty<+\infty ,~~R=(-\infty,~+\infty),\]

    \[(+\infty)+(+\infty)=+\infty,~~(-\infty)+(-\infty)=-\infty,\]

    \[(+\infty)\cdot (+\infty)=(-\infty)\cdot (-\infty)=+\infty\]

    \[(+\infty)\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty.\]

Но, например, операции ~(+\infty) + (-\infty),~~\frac {+\infty}{+\infty}~ уже не определены.

Кроме того, для ~\forall x \in R~ по определению полагается выполненным неравенство

    \[-\infty < x < +\infty\]

и справедливость следующих операций:

    \[a + (+\infty) = +\infty + a = +\infty, ~-\infty + a = a + (-\infty) = -\infty;\]

для~a > 0~

    \[a (+\infty) = (+\infty)\cdot a = +\infty, ~a\cdot(-\infty) = (-\infty)\cdot a = -\infty;\]

для a < 0

    \[a (+\infty) = (+\infty)\cdot a = -\infty, ~a (-\infty) = (-\infty)\cdot a = +\infty.\]

Множество действительных чисел ~R, дополненное элементами ~+\infty ~ и ~-\infty, называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через ~\overline{R}. Элементы ~+\infty ~ и ~-\infty называют также бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой в противопоставлении точкам числовой прямой ~R, которые называют также и конечными точками.

Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *