Принцип Архимеда

1. Теорема. Если ~ x>0 ~, а ~y~ — произвольное действительное число, то существует такое ~n\in Z, что

    \[(n-1)x\leq y < nx. \;\;\;\;\; (1)\]

Доказательство. Пусть для всех ~p\in Z~ выполняется неравенство ~px\leq y~. Это означает, что множество E=\{px|~p\in Z\} ограничено, а число ~y~ — его верхняя грань. Из аксиомы о верхней грани следует, что существует supE=\eta. Число ~\eta-x<\eta~ уже не является верхней гранью множества E; поэтому существует такое ~p'\in Z, что p'x>\eta-x. Отсюда ~(p'+1)x>\eta и ~\eta~ не может быть верхней гранью E. Полученное противоречие доказывает существование p\in Z, для которого px>y. Аналогично существует q\in Z, для которого qx < y; очевидно q\leq p. Перебирая все пары (q,q+1), (q+1,q+2),...,(p-1,p), найдем среди них такую, например (n-1,n), для которой (n-1)x\leq y, а ~nx>y, что и требовалось.

В частности, если ~x=1~ мы получим, что для любого ~y\in R~ существует такое ~n\in Z, что ~n-1\leq y < n. Число ~n-1~ называется целой частью числа ~y~ и обозначается ~[y]. Число ~y-[y]~ называется дробной частью числа ~y~ и обозначается ~(y). Таким образом, любое число ~y~ есть сумма своей целой и дробной частей: ~y=[y]+(y).

2. Если x>1, ~y>0, то существует такое n\in Z, что

    \[x^{n-1}\leq y < x^n\]

Это неравенство получим, заменяя в (1) сложение на умножение.

3. \forall x,y > 0 ~~\exists n\in N: ~\frac{y}{n} < x.

Если ~y>0~ в принципе Архимеда, то и ~n>\frac{y}{x}>0. Умножая это неравенство на ~\frac{x}{n}, получим требуемое.

Запись ~\exists s\in S: \beta~ означает: «существует элемент ~s\in S, для которого имеет место предложение ~\beta

Как следствие отсюда будем иметь:

    \[\forall y>0: ~inf \{\frac{y}{n},~n\in N\}=0 \;\;\;\;\; (2)\]

Действительно, множество в скобках состоит из положительных чисел, поэтому его нижняя грань неотрицательна. Но по доказанному она не может быть положительной. Отсюда следует (2).

4. Промежутки каждой из систем

    \[(0,~y]\supset (0, \frac {y}{2}] \supset...\supset (0, \frac{y}{n}] \supset..., \;\;\;\;\; (3.1)\]

    \[(a,~a+y]\supset (a,~a+\frac{y}{2}] \supset...\supset (a, a+\frac{y}{n}] \supset..., \;\;\;\;\; (3.2)\]

    \[[a-y,~a)\supset [a-\frac {y}{2}, a) \supset...\supset [a-\frac{y}{n}, a) \supset... \;\;\;\;\; (3.3)\]

не имеют общей точки при y>0.

Действительно. Если бы промежутки системы (3.2) имели общую точку ~\xi, то ~\xi-a~ была бы общей точкой системы (3.1); и если бы система (3.3) имела бы общую точку ~\eta, то ~a-\eta~ была бы общей точкой системы (3.1). Но в силу \forall x,y > 0 ~~\exists n\in N: ~\frac{y}{n} < x. промежутки системы (3.1) не могут иметь ни одной общей точки, что и доказывает утверждение.

5. Теорема. Любой интервал (a,~b) содержит рациональную точку.

Доказательство. Пусть ~h=b-a>0 и n\in Z: n>\frac{1}{h} по принципу Архимеда существует такое ~n~), так что \frac{1}{n} < h.

По принципу Архимеда найдется такое m, что

    \[\frac{m}{n} \leq a< \frac{m+1}{n}.\]

При этом

    \[\frac{m+1}{n} -a \leq \frac{1}{n} < b-a,~~\frac{m+1}{n} \in (a,b),\]

что и требовалось.

На самом деле между ~a~ и ~b~ существует бесконечное множество рациональных чисел, поскольку, применяя приведенное рассуждение к интервалу ~(\frac{m+1}{n},~b), мы получим новое рациональное число ~\frac{p}{q}:

    \[\frac{m+1}{n} < \frac{p}{q} < b,\]

и процесс можно продолжить неограниченно.

6. Для заданного действительного числа ~\xi~ обозначим через ~Q^1_{\xi}~ множество всех рациональных чисел s\leq \xi~ и через ~Q^2_{\xi}~ множество всех рациональных чисел r\geq \xi. Множество ~Q^1_{\xi}~ ограничено сверху (числом ~\xi), а ~Q^2_{\xi}~ ограничено снизу (числом ~\xi).

Теорема. ~sup~Q^1_{\xi} = \xi = inf~Q^2_{\xi}.

Доказательство. Пусть ~sup~Q^1_{\xi} = \eta. Так как ~s\leq \xi~ \forall s\in Q^1_{\xi}~, то по определению точной верхней грани ~\eta\leq \xi. Предположим, что ~\eta<\xi. По теореме 5 существует рациональная точка ~p\in (\eta,\xi). Так как ~\eta<\xi, то ~p\in Q^1_{\xi}, откуда следует, что ~p\leq sup~Q^1_{\xi}=\eta, что противоречит ~p\in(\eta,\xi). Следовательно, неравенство ~\eta<\xi невозможно, откуда следует, что ~\eta=sup~Q^1_{\xi}=\xi.

Аналогично доказывается, что ~\xi=inf~Q^2_{\xi}.

7. Десятичная позиционная запись действительных чисел

Любое действительное число \xi можно подставить символом, составленным лишь из знаков цифр множества ~E =\{0, 1, 2, ..., 9\}~ и разделительной запятой.

Пусть \xi > 0. В силу 7.2 существует и однозначно определен такой показатель p, что

    \[10^p\leq\xi < 10^{p+1}~~~~~~(10 = 9 + 1).\]

Выбрав p найдем число ~\theta_0\in Eтакое, что

    \[\theta_0\cdot 10^p\leq\xi < (\theta_0 + 1)\cdot 10^p.\]

Число \theta_0 также определено однозначно, так как промежутки

    \[[\theta\cdot 10^p, (\theta + 1)\cdot 10^p)\]

при различных \theta = 0, 1, 2,..., 9 не пересекаются. Далее, выбрав \theta_0, найдем число \theta_1\in E такое, что

    \[\theta_0\cdot 10^p + \theta_1\cdot 10^{p-1} \leq\xi < \theta_0\cdot 10^p + (\theta_1 + 1)\cdot 10^{p-1}.\]

Продолжая действовать таким же способом, мы найдем символ, состоящий из знаков (цифр) от 0 до 9, который будем записывать в виде \theta_0\theta_1\theta_2 ...\theta_p, \theta_{p+1}... ~~(\theta_0\neq 0), если p\geq 0,
\underbrace{0,0...0}_{q}~~~~\theta_0\theta_1\theta_2 ... ~~(\theta_0\neq 0), если p = -q ~(q > 0)\;\;\;\;\;\;\;\;(4).

Таким образом, каждому действительному числу \xi > 0 ставим в соответствие символ вида (4).

Например, если \xi = \frac {15}{7}, то несколько шагов имеют вид:

    \[p = 0: ~10^0\leq\frac{15}{7} < 10^1;\]

    \[\theta_0 = 2: ~2\cdot 10^0\leq \frac{15}{7}<3\cdot 10^0;\]

    \[\theta_1=1: ~~2 + 1\cdot 10^{-1}\leq\frac {15}{7} < 2 + 2\cdot 10^{-1};\]

    \[\theta_2 = 4: ~~2,1 + 4\cdot 10^{-2}\leq \frac {15}{7} < 2,1 + 5\cdot 10^{-2}\]

    \[\theta_3 = 2: ~~2,14 + 2\cdot 10^{-3}\leq \frac {15}{7} < 2,14 + 3\cdot 10^{-3}\]

    \[.....................................\]

    \[\theta_0\theta_1 ... \theta_p, \theta_{p+1}... = 2,142...\]

Символ (4) называется десятичной позиционной записью числа ~\xi, а цифры ~\theta_0,\theta_1,...~ в их взаимных положениях (позициях) в символе (4) — десятичными знаками числа ~\xi.

Для чисел ~1,2,...10~ десятичные записи имеют вид

    \[1,000...; 2,000...,...;9,000...;10,000...\]

Для чисел вида ~s/10^t~~(s>0,~t\geq 0)~ и только для них в символе (4) не более чем ~t~ цифр после запятой отлично от 0.

В символе (4) не возможно, чтобы, начиная с некоторого номера ~n~ после запятой, все цифры являлись девятками.

Действительно, наличие ~9=\theta_n=\theta_{n+1}=...~ после запятой означало бы, что число ~\xi~ принадлежит всем промежуткам.

    \[r+\frac{9}{10^n} \leq \xi < r +\frac{10}{10^n}=r+\frac{1}{10^{n-1}},\]

    \[r+\frac{9}{10^n}+\frac{9}{10^{n+1}} \leq \xi < r+\frac{9}{10^n}+ \frac{10}{10^{n+1}}=r+\frac{1}{10^{n-1}},\]

    \[....................................\]

    \[r+\frac{9}{10^n}+\frac{9}{10^{n+1}}+...+\frac{9}{10^{n+k}} \leq \xi < r+\frac{1}{10^{n-1}},\]

    \[....................................\]

Но все эти промежутки не имеют ни одной общей точки (4).

Обратно, пусть дан произвольный символ, состоящий из цифр от 0 до 9

    \[\tau_1 \tau_2 \tau_3... \;\;\;\;\; (1.14')\]

с запятой после некоторого символа ~\tau_i, причем не все ~\tau~ суть нули и как угодно далеко от ~\tau~ имеются цифры, отличные от 9.

Существует число ~\xi>0~ для которого (4') совпадает с представляющим его символом (4).

Действительно, пусть ~\tau_m — первая отличная от 0 цифра в (4'). Запятая находится или правее ~\tau_m~ на ~q\geq 0~ цифр (не считая ~\tau_m~), или левее ~\tau_m~ на ~t\geq 1~ цифр (считая \tau_m ); во втором случае положим ~q=-t.

Пусть теперь

    \[\xi=\sup\limits_{k}~\{~ 10^q\cdot \tau_m + 10^{q-1}\cdot \tau_{m+1} + ...+ 10^{q-k}\cdot \tau_{m+k}~\}.\]

Покажем, что десятичная запись этого числа~\xi~ совпадает с (4').

Зафиксируем целое число ~s\geq 0~ и выберем ~r>s~ так, чтобы ~\tau_{m+r}\leq 8~ и пусть ~k>r~ произвольно. Тогда, суммируя геометрическую прогрессию, найдем

    \[10^{q-(s+1)}\cdot \tau_{m+s+1} +...+ 10^{q-r}\cdot \tau_{m+r} + ...+ 10^{q-k}\cdot \tau_{m+k}\leq\]

    \[\leq 9\cdot 10^{q-(s+1)} +...+ 9\cdot 10^{q-r} + ...+ 9\cdot 10^{q-k} - 10^{q-r} =\]

    \[=9\cdot \frac{10^{q-(s+1)} - 10^{q-(k+1)}}{1-10^{-1}} - 10^{q-r}<10^{q-s}-10^{q-r}.\]

Поэтому

    \[\xi=\sup\limits_{k}~\{~ 10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}\cdot \tau_{m+s} + ...+ 10^{q-k}\cdot \tau_{m+k}\}\leq\]

    \[\leq 10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}\cdot \tau_{m+s} + 10^{q-s}-10^{q-r}<\]

    \[<10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}(\tau_{m+s}+1).\]

Итак, при любом ~s=0,1,2,...

    \[10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}\cdot \tau_{m+s}\leq \xi < 10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}(\tau_{m+s}+1).\]

Полагая здесь ~s=0,1,2,..., в соответствии с определением числа p и знаков \theta_0, \theta_1,... числа ~\xi~ будем иметь

    \[p=q,~ \theta_0=\tau_m,~\theta_1=\tau_{m+1},...,\]

откуда и следует совпадение десятичного представления числа ~\xi~ с символом (4').

Пусть теперь ~\xi0~ и поэтому ~-\xi=\tau_1 \tau_2..., как было показано выше; полагаем

    \[\xi\stackrel{def}=-\tau_1\tau_2...\]

Наконец, для \xi = 0 полагаем

    \[\xi\stackrel{def}= 0, 000...\]

и тем самым завершаем построение позиционной десятичной системы (или системы с основанием десять).

Итак, зная \ xi можно получить запись (4), а (4) определяет \xi.

Поэтому (4) используют в качестве наименования (или обозначения) числа \xi и пишут \forall \xi\in R

    \[\xi = \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}\theta_{p+2}... ~(~\xi = -\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}\theta_{p+2}...~)\]

или

    \[\xi = 0,0...0\theta_0\theta_1... ~~~(~\xi = -0,0...0\theta_0\theta_1...~)\]

Если в десятичной записи (4) числа ~\xi, начиная с некоторого места, стоят только одни нули:

    \[\xi =\pm \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n0...0...,\]

то пишут

    \[\xi =\pm \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n \;\;\;\;\;(5)\]

и говорят, что число \xi записывается конечной десятичной дробью (5).

Для неотрицательного числа ~\xi, записанного в виде десятичной дроби

    \[\xi =\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n...,\]

конечная десятичная дробь

    \[\underline{\xi}_n =\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n \;\;\;\;\;(6)\]

называется его нижнем десятичным приближением (или десятичным приближением с недостатком) порядка n, а число

    \[\overline{\xi}_n =\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n + 10^{-n} \;\;\;\;\;(7)\]

— верхним десятичным приближением (или десятичным приближением с избытком)порядка ~n=0,1,2,...

Если же ~\xi<0, т.е. записывается в виде

    \[\xi =- \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_m...,\]

где хотя бы одно из ~\theta_m ~(m=0,1,2,...)~ не равно нулю, то его нижнее ~\underline{\xi}_n~ и верхнее \overline{\xi}_n~ десятичные приближения порядка ~n~ определяются равенствами

    \[\begin{array}{l} \underline{\xi}_n =- \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n- 10^{-n},\\ \overline{\xi}_n =-\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n. \end{array} \;\;\;\;\;(8)\]

Таким образом, при любом \xi\in R

    \[\underline{\xi}_n \leq \xi\leq \overline{\xi}_n\]

    \[\overline{\xi}_n - \underline{\xi}_n = 10^{-n}, ~~~\underline{\xi}_n \leq \underline{\xi}_{n+1}, ~~~\overline{\xi}_{n+1} \leq \overline{\xi}_n\]

Приближения конечными десятичными дробями (6)-(8) действительных чисел \xi\in R удобно использовать для выполнения операций сложения, вычитания, умножения, деления и сравнения действительных чисел.

Так, например, сумма u + v, ~u\in R, ~~v\in R,~ является единственным действительным числом, удовлетворяющим при всех n = 0, 1, 2,... неравенству

    \[\underline{u}_n + \underline{v}_n\leq u + v\leq \overline{u}_n + \overline{v}_n.\]

Произведение ~uv~ является единственным действительным числом, удовлетворяющим при всех n = 0, 1, 2,... неравенствам

    \[\underline{u}_n \underline{v}_n\leq uv\leq \overline{u}_n \overline{v}_n,\]

если ~~u\geq 0, ~v\geq 0,

    \[\underline{u}_n \overline{v}_n\leq uv\leq \overline{u}_n \underline{v}_n,\]

если u < 0, ~v\geq 0,

    \[\overline{u}_n\overline{v}_n\leq uv\leq \underline{u}_n \underline{v}_n,\]

если u < 0, ~v < 0.

Условие ~u < v~ равносильно тому, что существует такой номер n, что \underline{u}_n < \underline{v}_n.

Бесконечная десятичная дробь называется периодической с периодом \eta_1\eta_2...\eta_m и записывается в виде

    \[\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n (\eta_1\eta_2...\eta_m), \;\;\;\;\;(9)\]

если после некоторого десятичного знака ( его номер обозначен ~n ) группа цифр ~\eta_1\eta_2...\eta_m~ все время повторяется.

Бесконечные десятичные периодические дроби и только они являются рациональными действительными числами. Отсюда следует, что действительное число является иррациональным тогда и только тогда, когда оно записывается непериодической бесконечной десятичной дробью. Переход от записи рационального числа дробью ~p/q,~~p\in Z,~~q\in N~, к его записи с помощью бесконечной периодической десятичной дроби осуществляется делением «столбиком» |p| на ~q~ .

Переход от записи рационального числа в виде (9) к его записи с помощью рациональной дроби производится по формуле.

    \[\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n(\eta_1...\eta_m)=\]

    \[=\theta_0\theta_1...\theta_p\theta_{p+1}...\theta_n\eta_1\eta_2... \eta_m - \theta_{p+1}...\theta_n \underbrace{99...9}_{m} \underbrace{00...0}_{n} \;\;\;\;\;(10)\]

В числителе дроби, находящейся в правой части равенства (10), стоит разность чисел, состоящих из цифр, стоящих после запятой в (9) соответственно до второго и до первого периода. В знаменателе стоит число, запись которого начинается с цифры 9, взятой столько раз, сколько имеется цифр в периоде, а затем следуют нули, число которых равно числу цифр до периода. Применяя сформулированные правила, имеем, например,

    \[5,6(23)=5\frac{623-6}{990}=5\frac{617}{990}.\]

8. Для позиционной записи действительных чисел вместо числа 10 можно взять какое-либо другое число. Чаще, кроме десятичной, встречается двоичная система (с наименьшим возможным основанием, равным 2), где для записи любого действительного числа используются лишь цифры 0 и 1.

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (голосов: 1, в среднем: 5,00 из 5)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *