Принцип Архимеда | Следствия из принципа Архимеда

1. Теорема. Если $~ x>0 ~$ , а $~y~$ — произвольное действительное число, то существует такое $~n\in Z$ , что

$(n-1)x\leq y < nx. \;\;\;\;\; (1)$

Доказательство. Пусть для всех $~p\in Z~$ выполняется неравенство $~px\leq y~$ . Это означает, что множество $E=\{px|~p\in Z\}$ ограничено, а число $~y~$ — его верхняя грань. Из аксиомы о верхней грани следует, что существует $supE=\eta$ . Число $~\eta-x<\eta~$ уже не является верхней гранью множества $E$ ; поэтому существует такое $~p'\in Z$ , что $p'x>\eta-x$ . Отсюда $~(p'+1)x>\eta$ и $~\eta~$ не может быть верхней гранью $E$ . Полученное противоречие доказывает существование $p\in Z$ , для которого $px>y$ . Аналогично существует $q\in Z$ , для которого $qx < y$ ; очевидно $q\leq p$ . Перебирая все пары $(q,q+1), (q+1,q+2),...,(p-1,p)$ , найдем среди них такую, например $(n-1,n)$ , для которой $(n-1)x\leq y$ , а $~nx>y$ , что и требовалось.

В частности, если $~x=1~$ мы получим, что для любого $~y\in R~$ существует такое $~n\in Z$ , что $~n-1\leq y < n$ . Число $~n-1~$ называется целой частью числа $~y~$ и обозначается $~[y]$ . Число $~y-[y]~$ называется дробной частью числа $~y~$ и обозначается $~(y)$ . Таким образом, любое число $~y~$ есть сумма своей целой и дробной частей: $~y=[y]+(y)$ .

2. Если $x>1, ~y>0$ , то существует такое $n\in Z$ , что

$x^{n-1}\leq y < x^n$

Это неравенство получим, заменяя в (1) сложение на умножение.

3. $\forall x,y > 0 ~~\exists n\in N: ~\frac{y}{n} < x$ .

Если $~y>0~$ в принципе Архимеда, то и $~n>\frac{y}{x}>0$ . Умножая это неравенство на $~\frac{x}{n}$ , получим требуемое.

Запись $~\exists s\in S: \beta~$ означает: «существует элемент $~s\in S$ , для которого имеет место предложение $~\beta$ .»

Как следствие отсюда будем иметь:

$\forall y>0: ~inf \{\frac{y}{n},~n\in N\}=0 \;\;\;\;\; (2)$

Действительно, множество в скобках состоит из положительных чисел, поэтому его нижняя грань неотрицательна. Но по доказанному она не может быть положительной. Отсюда следует (2).

4. Промежутки каждой из систем

$(0,~y]\supset (0, \frac {y}{2}] \supset...\supset (0, \frac{y}{n}] \supset..., \;\;\;\;\; (3.1)$

$(a,~a+y]\supset (a,~a+\frac{y}{2}] \supset...\supset (a, a+\frac{y}{n}] \supset..., \;\;\;\;\; (3.2)$

$[a-y,~a)\supset [a-\frac {y}{2}, a) \supset...\supset [a-\frac{y}{n}, a) \supset... \;\;\;\;\; (3.3)$

не имеют общей точки при $y>0$ .

Действительно. Если бы промежутки системы (3.2) имели общую точку $~\xi$ , то $~\xi-a~$ была бы общей точкой системы (3.1); и если бы система (3.3) имела бы общую точку $~\eta$ , то $~a-\eta~$ была бы общей точкой системы (3.1). Но в силу $\forall x,y > 0 ~~\exists n\in N: ~\frac{y}{n} < x$ . промежутки системы (3.1) не могут иметь ни одной общей точки, что и доказывает утверждение.

5. Теорема. Любой интервал $(a,~b)$ содержит рациональную точку.

Доказательство. Пусть $~h=b-a>0$ и $n\in Z: n>\frac{1}{h}$ по принципу Архимеда существует такое $~n~$ ), так что $\frac{1}{n} < h$ .

По принципу Архимеда найдется такое $m$ , что

$\frac{m}{n} \leq a< \frac{m+1}{n}.$

При этом

$\frac{m+1}{n} -a \leq \frac{1}{n} < b-a,~~\frac{m+1}{n} \in (a,b),$

что и требовалось.

На самом деле между $~a~$ и $~b~$ существует бесконечное множество рациональных чисел, поскольку, применяя приведенное рассуждение к интервалу $~(\frac{m+1}{n},~b)$ , мы получим новое рациональное число $~\frac{p}{q}:$

$\frac{m+1}{n} < \frac{p}{q} < b,$

и процесс можно продолжить неограниченно.

6. Для заданного действительного числа $~\xi~$ обозначим через $~Q^1_{\xi}~$ множество всех рациональных чисел $s\leq \xi~$ и через $~Q^2_{\xi}~$ множество всех рациональных чисел $r\geq \xi$ . Множество $~Q^1_{\xi}~$ ограничено сверху (числом $~\xi$ ), а $~Q^2_{\xi}~$ ограничено снизу (числом $~\xi$ ).

Теорема. $~sup~Q^1_{\xi} = \xi = inf~Q^2_{\xi}$ .

Доказательство. Пусть $~sup~Q^1_{\xi} = \eta$ . Так как $~s\leq \xi~ \forall s\in Q^1_{\xi}~$ , то по определению точной верхней грани $~\eta\leq \xi$ . Предположим, что $~\eta<\xi$ . По теореме 5 существует рациональная точка $~p\in (\eta,\xi)$ . Так как $~\eta<\xi$ , то $~p\in Q^1_{\xi}$ , откуда следует, что $~p\leq sup~Q^1_{\xi}=\eta$ , что противоречит $~p\in(\eta,\xi)$ . Следовательно, неравенство $~\eta<\xi$ невозможно, откуда следует, что $~\eta=sup~Q^1_{\xi}=\xi$ .

Аналогично доказывается, что $~\xi=inf~Q^2_{\xi}$ .

7. Десятичная позиционная запись действительных чисел

Любое действительное число $\xi$ можно подставить символом, составленным лишь из знаков цифр множества $~E =\{0, 1, 2, ..., 9\}~$ и разделительной запятой.

Пусть $\xi > 0$ . В силу 7.2 существует и однозначно определен такой показатель $p$ , что

$10^p\leq\xi < 10^{p+1}~~~~~~(10 = 9 + 1).$

Выбрав $p$ найдем число $~\theta_0\in E$ такое, что

$\theta_0\cdot 10^p\leq\xi < (\theta_0 + 1)\cdot 10^p.$

Число $\theta_0$ также определено однозначно, так как промежутки

$[\theta\cdot 10^p, (\theta + 1)\cdot 10^p)$

при различных $\theta = 0, 1, 2,..., 9$ не пересекаются. Далее, выбрав $\theta_0$ , найдем число $\theta_1\in E$ такое, что

$\theta_0\cdot 10^p + \theta_1\cdot 10^{p-1} \leq\xi < \theta_0\cdot 10^p + (\theta_1 + 1)\cdot 10^{p-1}.$

Продолжая действовать таким же способом, мы найдем символ, состоящий из знаков (цифр) от 0 до 9, который будем записывать в виде $\theta_0\theta_1\theta_2 ...\theta_p, \theta_{p+1}... ~~(\theta_0\neq 0)$ , если $p\geq 0$ ,
$\underbrace{0,0...0}_{q}~~~~\theta_0\theta_1\theta_2 ... ~~(\theta_0\neq 0)$ , если $p = -q ~(q > 0)\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$ .

Таким образом, каждому действительному числу $\xi > 0$ ставим в соответствие символ вида (4).

Например, если $\xi = \frac {15}{7}$ , то несколько шагов имеют вид:

$p = 0: ~10^0\leq\frac{15}{7} < 10^1;$

$\theta_0 = 2: ~2\cdot 10^0\leq \frac{15}{7}<3\cdot 10^0;$

$\theta_1=1: ~~2 + 1\cdot 10^{-1}\leq\frac {15}{7} < 2 + 2\cdot 10^{-1};$

$\theta_2 = 4: ~~2,1 + 4\cdot 10^{-2}\leq \frac {15}{7} < 2,1 + 5\cdot 10^{-2}$

$\theta_3 = 2: ~~2,14 + 2\cdot 10^{-3}\leq \frac {15}{7} < 2,14 + 3\cdot 10^{-3}$

$.....................................$

$\theta_0\theta_1 ... \theta_p, \theta_{p+1}... = 2,142...$

Символ (4) называется десятичной позиционной записью числа $~\xi$ , а цифры $~\theta_0,\theta_1,...~$ в их взаимных положениях (позициях) в символе (4) — десятичными знаками числа $~\xi$ .

Для чисел $~1,2,...10~$ десятичные записи имеют вид

$1,000...; 2,000...,...;9,000...;10,000...$

Для чисел вида $~s/10^t~~(s>0,~t\geq 0)~$ и только для них в символе (4) не более чем $~t~$ цифр после запятой отлично от 0.

В символе (4) не возможно, чтобы, начиная с некоторого номера $~n~$ после запятой, все цифры являлись девятками.

Действительно, наличие $~9=\theta_n=\theta_{n+1}=...~$ после запятой означало бы, что число $~\xi~$ принадлежит всем промежуткам.

$r+\frac{9}{10^n} \leq \xi < r +\frac{10}{10^n}=r+\frac{1}{10^{n-1}},$

$r+\frac{9}{10^n}+\frac{9}{10^{n+1}} \leq \xi < r+\frac{9}{10^n}+ \frac{10}{10^{n+1}}=r+\frac{1}{10^{n-1}},$

$....................................$

$r+\frac{9}{10^n}+\frac{9}{10^{n+1}}+...+\frac{9}{10^{n+k}} \leq \xi < r+\frac{1}{10^{n-1}},$

$....................................$

Но все эти промежутки не имеют ни одной общей точки (4).

Обратно, пусть дан произвольный символ, состоящий из цифр от 0 до 9

$\tau_1 \tau_2 \tau_3... \;\;\;\;\; (1.14')$

с запятой после некоторого символа $~\tau_i,$ причем не все $~\tau~$ суть нули и как угодно далеко от $~\tau~$ имеются цифры, отличные от 9.

Существует число $~\xi>0~$ для которого $(4')$ совпадает с представляющим его символом (4).

Действительно, пусть $~\tau_m$ — первая отличная от 0 цифра в $(4')$ . Запятая находится или правее $~\tau_m~$ на $~q\geq 0~$ цифр (не считая $~\tau_m~$ ), или левее $~\tau_m~$ на $~t\geq 1~$ цифр (считая $\tau_m$ ); во втором случае положим $~q=-t$ .

Пусть теперь

$\xi=\sup\limits_{k}~\{~ 10^q\cdot \tau_m + 10^{q-1}\cdot \tau_{m+1} + ...+ 10^{q-k}\cdot \tau_{m+k}~\}.$

Покажем, что десятичная запись этого числа $~\xi~$ совпадает с $(4')$ .

Зафиксируем целое число $~s\geq 0~$ и выберем $~r>s~$ так, чтобы $~\tau_{m+r}\leq 8~$ и пусть $~k>r~$ произвольно. Тогда, суммируя геометрическую прогрессию, найдем

$10^{q-(s+1)}\cdot \tau_{m+s+1} +...+ 10^{q-r}\cdot \tau_{m+r} + ...+ 10^{q-k}\cdot \tau_{m+k}\leq$

$\leq 9\cdot 10^{q-(s+1)} +...+ 9\cdot 10^{q-r} + ...+ 9\cdot 10^{q-k} - 10^{q-r} =$

$=9\cdot \frac{10^{q-(s+1)} - 10^{q-(k+1)}}{1-10^{-1}} - 10^{q-r}<10^{q-s}-10^{q-r}.$

Поэтому

$\xi=\sup\limits_{k}~\{~ 10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}\cdot \tau_{m+s} + ...+ 10^{q-k}\cdot \tau_{m+k}\}\leq$

$\leq 10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}\cdot \tau_{m+s} + 10^{q-s}-10^{q-r}<$

$<10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}(\tau_{m+s}+1).$

Итак, при любом $~s=0,1,2,...$

$10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}\cdot \tau_{m+s}\leq \xi < 10^q\cdot \tau_m +...+ 10^{q-s}(\tau_{m+s}+1).$

Полагая здесь $~s=0,1,2,...$ , в соответствии с определением числа $p$ и знаков $\theta_0, \theta_1,...$ числа $~\xi~$ будем иметь

$p=q,~ \theta_0=\tau_m,~\theta_1=\tau_{m+1},...,$

откуда и следует совпадение десятичного представления числа $~\xi~$ с символом $(4')$ .

Пусть теперь $~\xi0~$ и поэтому $~-\xi=\tau_1 \tau_2...$ , как было показано выше; полагаем

$\xi\stackrel{def}=-\tau_1\tau_2...$

Наконец, для $\xi = 0$ полагаем

$\xi\stackrel{def}= 0, 000...$

и тем самым завершаем построение позиционной десятичной системы (или системы с основанием десять).

Итак, зная $\ xi$ можно получить запись (4), а (4) определяет $\xi$ .

Поэтому (4) используют в качестве наименования (или обозначения) числа $\xi$ и пишут $\forall \xi\in R$

$\xi = \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}\theta_{p+2}... ~(~\xi = -\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}\theta_{p+2}...~)$

или

$\xi = 0,0...0\theta_0\theta_1... ~~~(~\xi = -0,0...0\theta_0\theta_1...~)$

Если в десятичной записи (4) числа $~\xi$ , начиная с некоторого места, стоят только одни нули:

$\xi =\pm \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n0...0...,$

то пишут

$\xi =\pm \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n \;\;\;\;\;(5)$

и говорят, что число $\xi$ записывается конечной десятичной дробью (5).

Для неотрицательного числа $~\xi$ , записанного в виде десятичной дроби

$\xi =\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n...,$

конечная десятичная дробь

$\underline{\xi}_n =\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n \;\;\;\;\;(6)$

называется его нижнем десятичным приближением (или десятичным приближением с недостатком) порядка $n$ , а число

$\overline{\xi}_n =\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n + 10^{-n} \;\;\;\;\;(7)$

— верхним десятичным приближением (или десятичным приближением с избытком)порядка $~n=0,1,2,...$

Если же $~\xi<0$ , т.е. записывается в виде

$\xi =- \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_m...,$

где хотя бы одно из $~\theta_m ~(m=0,1,2,...)~$ не равно нулю, то его нижнее $~\underline{\xi}_n~$ и верхнее $\overline{\xi}_n~$ десятичные приближения порядка $~n~$ определяются равенствами

$\begin{array}{l} \underline{\xi}_n =- \theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n- 10^{-n},\\ \overline{\xi}_n =-\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n. \end{array} \;\;\;\;\;(8)$

Таким образом, при любом $\xi\in R$

$\underline{\xi}_n \leq \xi\leq \overline{\xi}_n$

$\overline{\xi}_n - \underline{\xi}_n = 10^{-n}, ~~~\underline{\xi}_n \leq \underline{\xi}_{n+1}, ~~~\overline{\xi}_{n+1} \leq \overline{\xi}_n$

Приближения конечными десятичными дробями (6)-(8) действительных чисел $\xi\in R$ удобно использовать для выполнения операций сложения, вычитания, умножения, деления и сравнения действительных чисел.

Так, например, сумма $u + v, ~u\in R, ~~v\in R,~$ является единственным действительным числом, удовлетворяющим при всех $n = 0, 1, 2,...$ неравенству

$\underline{u}_n + \underline{v}_n\leq u + v\leq \overline{u}_n + \overline{v}_n.$

Произведение ~ $uv$ ~ является единственным действительным числом, удовлетворяющим при всех $n = 0, 1, 2,...$ неравенствам

$\underline{u}_n \underline{v}_n\leq uv\leq \overline{u}_n \overline{v}_n,$

если $~~u\geq 0, ~v\geq 0$ ,

$\underline{u}_n \overline{v}_n\leq uv\leq \overline{u}_n \underline{v}_n,$

если $u < 0, ~v\geq 0$ ,

$\overline{u}_n\overline{v}_n\leq uv\leq \underline{u}_n \underline{v}_n,$

если $u < 0, ~v < 0$ .

Условие $~u < v~$ равносильно тому, что существует такой номер $n$ , что $\underline{u}_n < \underline{v}_n$ .

Бесконечная десятичная дробь называется периодической с периодом $\eta_1\eta_2...\eta_m$ и записывается в виде

$\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n (\eta_1\eta_2...\eta_m), \;\;\;\;\;(9)$

если после некоторого десятичного знака ( его номер обозначен $~n$ ) группа цифр $~\eta_1\eta_2...\eta_m~$ все время повторяется.

Бесконечные десятичные периодические дроби и только они являются рациональными действительными числами. Отсюда следует, что действительное число является иррациональным тогда и только тогда, когда оно записывается непериодической бесконечной десятичной дробью. Переход от записи рационального числа дробью $~p/q,~~p\in Z,~~q\in N~$ , к его записи с помощью бесконечной периодической десятичной дроби осуществляется делением «столбиком» $|p|$ на $~q~$ .

Переход от записи рационального числа в виде (9) к его записи с помощью рациональной дроби производится по формуле.

$\theta_0\theta_1...\theta_p,\theta_{p+1}...\theta_n(\eta_1...\eta_m)=$

$=\theta_0\theta_1...\theta_p\theta_{p+1}...\theta_n\eta_1\eta_2... \eta_m - \theta_{p+1}...\theta_n \underbrace{99...9}_{m} \underbrace{00...0}_{n} \;\;\;\;\;(10)$

В числителе дроби, находящейся в правой части равенства (10), стоит разность чисел, состоящих из цифр, стоящих после запятой в (9) соответственно до второго и до первого периода. В знаменателе стоит число, запись которого начинается с цифры 9, взятой столько раз, сколько имеется цифр в периоде, а затем следуют нули, число которых равно числу цифр до периода. Применяя сформулированные правила, имеем, например,

$5,6(23)=5\frac{623-6}{990}=5\frac{617}{990}.$

8. Для позиционной записи действительных чисел вместо числа 10 можно взять какое-либо другое число. Чаще, кроме десятичной, встречается двоичная система (с наименьшим возможным основанием, равным 2), где для записи любого действительного числа используются лишь цифры 0 и 1.

Оставь комментарий Отменить ответ