Аксиома о верхней грани и следствия из нее

Определение: множество M\subset R называется ограниченным сверху, если существует такой элемент ~\eta\in R, что ~x\leq \eta~ для каждого x\in M; это соотношение записывается в виде M\leq \eta. Всякий элемент \eta, обладающее по отношению к множеству указанным свойством, называется верхней гранью множества M.

Точной верхней гранью множества M называется верхняя грань \overline{\eta}, если любая другая верхняя грань \eta множества M больше или равна \overline{\eta}. Точная верхняя грань множества M обозначается ~sup~M (от латинского supremum — высшее).

Аксиома о верхней грани была сформулирована тут — при построении теории действительных чисел. Приведем ее формулировку еще раз.

Аксиома о верхней грани: всякое ограниченное сверху множество M\subset R обладает точной верхней гранью.

Из данной аксиомы следует целый ряд следствий, который будут рассмотрены в данной статье.

Следствия из аксиомы о верхней грани

6.1. Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой. Поэтому множество R всех действительных чисел называют числовой осью, а сами действительные числа — ее точками.

При такой интерпретации действительных чисел вместо a меньше b (b больше a) говорят, что точка a лежит левее точки b (что b лежит правее a).

6.2. В п. 4 \S 2 определено множество, ограниченное сверху и дано понятие верхней грани и точной верхней грани числового множества. Дополним эти сведения рядом нужных для дальнейшего понятий.

Множество M\subset R называется ограниченным снизу, если существует такой элемент \mu \in R, что \mu \leq x для всякого x\in M; это соотношение записывается в виде \mu \leq M. Всякое число \mu, обладающее по отношению к множеству M указанным свойстом, называется нижней гранью множества M.

Если M ограничено сверху, т.е. если существует такое число \eta, что M\leq \eta, то множество M^- ( множество всех чисел, противоположных числам множества M ) ограничено снизу, поскольку из x\leq \eta следует -x\geq -\eta; при этом ~-\eta ~ есть нижняя грань множества M^-. Обратно, если M ограничено снизу, то по тем же соображениям M^- ограничено сверху, и если \mu есть нижняя грань множества M, то -\mu верхняя грань множества M^-.

Нижняя грань ~\underline{\mu}~ множества ~M~, ограниченного снизу, называется точной нижней гранью множества ~M, если любая другая нижняя грань ~\mu~ множества ~M~ меньше или равна ~\underline{\mu}. Точная нижняя грань множества ~M~ обозначается inf~M~ (от лат. infimum— низшее).

Теорема. Всякое множество ~M~, ограниченное снизу имеет точную нижнюю грань, и она равна -supM^-.

Доказательство. Множество ~M^- ограничено сверху, и по аксиоме 4.1 существует число ~\overline{\eta}=sup~M^-. Покажем, что -\overline{\eta} = inf~M. Мы имеем для ~x\in M~ всегда -x\leq \overline{\eta}, откуда ~x\geq -\overline{\eta}; таким образом, -\overline{\eta}~ есть нижняя грань множества ~M. Пусть ~\mu — любая другая нижняя грань ~M. Тогда ~-\mu~ есть верхняя грань множества ~M^- и согласно определению -\mu\geq sup~M^-=\overline{\eta}. Отсюда ~\mu\leq -\overline{\eta}, что и требуется.

6.3. 1. Если множества X и Y ограничены сверху (снизу) и X\subset Y, то

    \[~sup~X\leq sup~Y~ (~inf~X\geq inf~Y~).\]

Действительно, sup~Y~ является верхней гранью для ~Y~ и тем более для ~X\subset Y, поэтому ~sup~X\leq sup~Y~ (~inf~Y является нижней гранью для ~Y~ и тем более для ~X\subset Y, поэтому ~inf~X\geq inf~Y~).

2. Если для любых ~x\in X~ и ~y\in Y~ выполнено неравенство ~x\leq y, то ~X~ ограничено сверху, а ~Y — снизу и ~sup~X\leq inf~Y.

Действительно, множество ~X~ ограничено сверху любым ~y\in Y, поэтому существуют ~sup~X~ и

    \[sup~X\leq y ~~\forall y\in Y~.\]

Отсюда следует, что ~Y~ ограничено снизу числом ~sup~X, следовательно, ~sup~X\leq \inf~Y.

3. Множество ~X~ называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Из аксиомы 4.1 и теоремы п. 6.2 следует: Всякое ограниченное множество ~X~ имеет ~sup~X~ и ~inf~X.

Примерами ограниченных множеств являются отрезки, интервалы, полуинтервалы.

При a< b множество всех действительных чисел ~x, удовлетворяющих условию a\leq x\leq b\;\left ( a< x< b \right ), называется отрезком (интервалом) и обозначается через ~[a,b] ~~(~(a,b)~), т.е.

    \[[a,b]\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a\leq x\leq b~\},\]

    \[(a,b)\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a < x < b~\}.\]

Очевидно, что

    \[inf~[a,b]=inf~(a,b)=a, ~sup~[a,b]=sup~(a,b)=b.\]

Полуинтервалы обозначаются через [a,b) или ~(a,b]~ и определяются соответственно соотношениями

    \[[a,b)\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a\leq x < b~\},\]

    \[(a,b]\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a < x\leq b~\},\]

Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками. Для единства терминалогии иногда точку ~a~ также называют отрезком и пишут

    \[a\stackrel{def}{=}[a,a]=\{~x~|a\leq x\leq a~\}.\]

6.4. Рациональные степени действительных чисел

Число y такое, что ~y^n=x~ (если оно существует) называется корнем n-й степени из числа x и обозначается через \sqrt[n]{x} или ~x^{\frac{1}{n}}, т.е.

    \[(\sqrt[n]{x})^n\stackrel{def}{=}x.\]

Справедлива следующая теорема.

Для любого ~x>0~~ и ~~n\in N~ существует единственное действительное число ~y>0~, такое, что ~y^n=x.

Доказательство. Пусть ~S~ — множество всех положительных чисел ~s~ таких, что ~s^n\leq x~. Это множество ограничено сверху (числом 1, если ~x\leq 1~, и числом ~x~, если ~x\geq 1~ (см.5.5.3)). Положим

    \[y = sup~S ~~~ (1.10)\]

и покажем, что ~y^n=x.

Пусть y^n < x и x-y^n=\epsilon. Для любого положительного ~h\leq 1~ мы имеем по формуле бинома Ньютона

    \[(y+h)^n=y^n+ny^{n-1}\cdot h+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h^2+ ... +h^n=\]

    \[=y^n+h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h+ ... +h^{n-1}]\leq\]

    \[\leq y^n+h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}+ ... +1]=\]

    \[=y^n+h[(y+1)^n-y^n].\]

Можно взять

    \[0 < h < \frac{\epsilon }{(y+1)^n-y^n};\]

тогда мы получим

    \[(y+h)^n\leq y^n+\epsilon =x,\]

что противоречит определению (1.10).

Таким образом, y^n \geq x.

Пусть ~y^n>x, ~y^n-x=\epsilon. Для любого положительного числа ~h\leq 1~ имеем

    \[(y-h)^n=y^n-ny^{n-1}\cdot h+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h^2- ... + (-1)^nh^n=\]

    \[=y^n-h[ny^{n-1}-\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h+ ... + (-1)^{n-1}h^{n-1}]\geq\]

    \[\geq y^n-h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h+ ... + h^{n-1}1]\geq\]

    \[\geq y^n-h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}+ ... +1]=\]

    \[=y^n-h[(y+1)^n-y^n].\]

Взяв снова

    \[h < \frac{\epsilon }{(y+1)^n-y^n},\]

получим

    \[(y-h)^n\geq y^n-\epsilon =x,\]

что опять противоречит определению (1.10).

Таким образом, ~y^n=x, что и требовалось.

Единственность корня следует из неравенства y_1^n < y_2^n при ~0 < y_1 < y_2~ \;\;\;\;\; (5.5.4).

6.5. Некоторые свойства корня

    \[\forall x,y > 0~~\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}. \;\;\;\;\; (1.11)\]

Пусть ~\xi=\sqrt[n]{x}, ~\eta=\sqrt[n]{y}, ~\mu=\sqrt[n]{xy}.

    \[\xi^n=x, ~\eta^n=y, ~\mu^n=xy;\]

    \[\xi^n\cdot \eta^n=xy, ~(\xi\eta)^n=xy=\mu^n.\]

В силу единственности корня

    \[\mu=\sqrt[n]{xy}=\xi\eta=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}.\]

Аналогично доказываются, что для положительного числа ~x~ и любых ~m,n\in N,~~m,n>1

    \[\sqrt[n]{ \sqrt[m]{x}}= \sqrt[nm]{x}; \sqrt[n]{x}=\sqrt[nm]{x^m};\]

    \[( \sqrt[n]{x})^m= \sqrt[n]{x^m}; ~~ \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}, ~y\neq 0; \;\;\;\;\;(1.12)\]

Имея понятие целочисленной степени и корня, можно определить понятие рациональной степени.

Если~x>0 ~ и ~r\in Q~, т.е. ~r=m/n,~m,n\in Z, n\neq 0,~ то степень ~x^r~ определяется равенством

    \[x^r\stackrel{def}{=}\sqrt[n]{x^m}\]

6.6. Основные свойства рациональной степени

Пусть ~x>0,~y>0,~r_1,~r_2\in Q; тогда:

    \[1^0.~~x^{-r} = \frac{1}{x^r}.~~~~~2^0.~~x^{r_1}\cdot x^{r_2}= x^{r_1+r_2}.\]

    \[3^0.~~(x^{r_1})^{r_2}=x^{r_1\cdot r_2}.~~~~~4^0.~~(xy)^r=x^r\cdot y^r.\]

Докажем свойство 1^0. Если ~r=\frac{m}{n}~, где ~m,n\in Z, ~~ n\neq 0, то

    \[x^{-r} = x^{-\frac{m}{n}}= x^{\frac{-m}{n}}= x^\frac{1}{n}{x^{-m}}=\]

    \[=x^n{\frac{1}{x^{m}}}= \frac{1}{x^{-n}} \frac{1}{x^{m}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}= \frac{1}{x^{r}}.\]

Из формул 2^0, 3^0, 4^0 докажем, например, 2^0~ (остальные доказываются аналогично). Если

    \[r_1=\frac{p}{q}, ~r_2=\frac{m}{n}, ~q,n\neq 0, ~p,q,m.n\in Z,\]

то, использовав определение рациональной степени, свойства корней и (1.7), получим

    \[x^{r_1}x^{r_2}= x^{\frac{p}{q}}x^{\frac{m}{n}}= \sqrt[q]{x^p}\cdot \sqrt[n]{x^m}=\]

    \[=\sqrt[nq]{x^{np}}\cdot \sqrt[nq]{x^{mq}}= \sqrt[nq]{x^{np}}\cdot \sqrt[nq]{x^{mq}}= \sqrt[nq]{x^{np}\cdot x^{mq}}=\]

    \[=\sqrt[nq]{x^{np+mq}}= x^{\frac{np+mq}{nq}}= x^{\frac{p}{q}+\frac{m}{n}}= x^{r_1+r_2}.\]

Из свойства 4^0 следует, что

    \[(\frac{x}{y})^r=\frac{x^r}{y^r}.\]

Действительно,

    \[(\frac{x}{y})^r=(xy^{-1})^r=x^r\cdot (y^{-1})^r= x^r\cdot y^{-r}=x^r\cdot \frac{1}{y^r}= \frac{x^r}{y^r}.\]

6.7. Поскольку ~(-x)^n=(-1)^nx^n, при ~n~ четном уравнение ~y^n=x ~(x>0)~ имеет, кроме положительного решения ~y_1=\sqrt[n]{x}, отрицательное решение ~y_2=-\sqrt[n]{x}~; уравнение ~y^n=x ~(x<0)~ не имеет действительных корней. При нечетном ~n~ уравнение ~y^n=x ~ имеет единственное решение ~y=\sqrt[n]{x}, при ~x>0~ и единственное решение ~y=-\sqrt[n]{|x|} при ~x<0.

Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *