Аксиома о верхней грани и следствия из нее с доказательством

Определение: множество $M\subset R$ называется ограниченным сверху, если существует такой элемент $~\eta\in R$ , что $~x\leq \eta~$ для каждого $x\in M$ ; это соотношение записывается в виде $M\leq \eta$ . Всякий элемент $\eta$ , обладающее по отношению к множеству указанным свойством, называется верхней гранью множества $M$ .
Точной верхней гранью множества $M$ называется верхняя грань $\overline{\eta}$ , если любая другая верхняя грань $\eta$ множества $M$ больше или равна $\overline{\eta}$ . Точная верхняя грань множества $M$ обозначается $~sup~M$ (от латинского $supremum$ — высшее).

Аксиома о верхней грани была сформулирована тут — при построении теории действительных чисел. Приведем ее формулировку еще раз.

Аксиома о верхней грани: всякое ограниченное сверху множество $M\subset R$ обладает точной верхней гранью.

Из данной аксиомы следует целый ряд следствий, который будут рассмотрены в данной статье.

Следствия из аксиомы о верхней грани

6.1. Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой. Поэтому множество $R$ всех действительных чисел называют числовой осью, а сами действительные числа — ее точками.

При такой интерпретации действительных чисел вместо $a$ меньше $b$ ( $b$ больше $a$ ) говорят, что точка $a$ лежит левее точки $b$ (что $b$ лежит правее $a$ ).

6.2. В п. 4 $\S$ 2 определено множество, ограниченное сверху и дано понятие верхней грани и точной верхней грани числового множества. Дополним эти сведения рядом нужных для дальнейшего понятий.

Множество $M\subset R$ называется ограниченным снизу, если существует такой элемент $\mu \in R$ , что $\mu \leq x$ для всякого $x\in M$ ; это соотношение записывается в виде $\mu \leq M$ . Всякое число $\mu$ , обладающее по отношению к множеству $M$ указанным свойстом, называется нижней гранью множества $M$ .

Если $M$ ограничено сверху, т.е. если существует такое число $\eta$ , что $M\leq \eta$ , то множество $M^-$ ( множество всех чисел, противоположных числам множества $M$ ) ограничено снизу, поскольку из $x\leq \eta$ следует $-x\geq -\eta$ ; при этом $~-\eta ~$ есть нижняя грань множества $M^-$ . Обратно, если $M$ ограничено снизу, то по тем же соображениям $M^-$ ограничено сверху, и если $\mu$ есть нижняя грань множества $M$ , то $-\mu$ верхняя грань множества $M^-$ .

Нижняя грань $~\underline{\mu}~$ множества $~M~$ , ограниченного снизу, называется точной нижней гранью множества $~M$ , если любая другая нижняя грань $~\mu~$ множества $~M~$ меньше или равна $~\underline{\mu}$ . Точная нижняя грань множества $~M~$ обозначается $inf~M~$ (от лат. $infimum$ — низшее).

Теорема. Всякое множество $~M~$ , ограниченное снизу имеет точную нижнюю грань, и она равна $-supM^-$ .

Доказательство. Множество $~M^-$ ограничено сверху, и по аксиоме 4.1 существует число $~\overline{\eta}=sup~M^-$ . Покажем, что $-\overline{\eta} = inf~M$ . Мы имеем для $~x\in M~$ всегда $-x\leq \overline{\eta}$ , откуда $~x\geq -\overline{\eta}$ ; таким образом, $-\overline{\eta}~$ есть нижняя грань множества $~M$ . Пусть $~\mu$ — любая другая нижняя грань $~M$ . Тогда $~-\mu~$ есть верхняя грань множества $~M^-$ и согласно определению $-\mu\geq sup~M^-=\overline{\eta}$ . Отсюда $~\mu\leq -\overline{\eta}$ , что и требуется.

6.3. 1. Если множества $X$ и $Y$ ограничены сверху (снизу) и $X\subset Y,$ то

$~sup~X\leq sup~Y~ (~inf~X\geq inf~Y~).$

Действительно, $sup~Y~$ является верхней гранью для $~Y~$ и тем более для $~X\subset Y$ , поэтому $~sup~X\leq sup~Y~$ ( $~inf~Y$ является нижней гранью для $~Y~$ и тем более для $~X\subset Y$ , поэтому $~inf~X\geq inf~Y~$ ).

2. Если для любых $~x\in X~$ и $~y\in Y~$ выполнено неравенство $~x\leq y$ , то $~X~$ ограничено сверху, а $~Y$ — снизу и $~sup~X\leq inf~Y$ .

Действительно, множество $~X~$ ограничено сверху любым $~y\in Y$ , поэтому существуют $~sup~X~$ и

$sup~X\leq y ~~\forall y\in Y~.$

Отсюда следует, что $~Y~$ ограничено снизу числом $~sup~X$ , следовательно, $~sup~X\leq \inf~Y$ .

3. Множество $~X~$ называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Из аксиомы 4.1 и теоремы п. 6.2 следует: Всякое ограниченное множество $~X~$ имеет $~sup~X~$ и $~inf~X$ .

Примерами ограниченных множеств являются отрезки, интервалы, полуинтервалы.

При $a< b$ множество всех действительных чисел $~x$ , удовлетворяющих условию $a\leq x\leq b\;\left ( a< x< b \right )$ , называется отрезком (интервалом) и обозначается через $~[a,b] ~~(~(a,b)~)$ , т.е.

$[a,b]\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a\leq x\leq b~\},$

$(a,b)\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a < x < b~\}.$

Очевидно, что

$inf~[a,b]=inf~(a,b)=a, ~sup~[a,b]=sup~(a,b)=b.$

Полуинтервалы обозначаются через $[a,b)$ или $~(a,b]~$ и определяются соответственно соотношениями

$[a,b)\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a\leq x < b~\},$

$(a,b]\stackrel{def}{=}\{~x\in R~|~ a < x\leq b~\},$

Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками. Для единства терминалогии иногда точку $~a~$ также называют отрезком и пишут

$a\stackrel{def}{=}[a,a]=\{~x~|a\leq x\leq a~\}.$

6.4. Рациональные степени действительных чисел

Число $y$ такое, что $~y^n=x~$ (если оно существует) называется корнем $n$ -й степени из числа $x$ и обозначается через $\sqrt[n]{x}$ или $~x^{\frac{1}{n}}$ , т.е.

$(\sqrt[n]{x})^n\stackrel{def}{=}x.$

Справедлива следующая теорема.

Для любого $~x>0~~$ и $~~n\in N~$ существует единственное действительное число $~y>0~$ , такое, что $~y^n=x$ .

Доказательство. Пусть $~S~$ — множество всех положительных чисел $~s~$ таких, что $~s^n\leq x~$ . Это множество ограничено сверху (числом 1, если $~x\leq 1~$ , и числом $~x~$ , если $~x\geq 1~$ (см.5.5.3)). Положим

$y = sup~S ~~~ (1.10)$

и покажем, что $~y^n=x$ .

Пусть $y^n < x$ и $x-y^n=\epsilon$ . Для любого положительного $~h\leq 1~$ мы имеем по формуле бинома Ньютона

$(y+h)^n=y^n+ny^{n-1}\cdot h+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h^2+ ... +h^n=$

$=y^n+h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h+ ... +h^{n-1}]\leq$

$\leq y^n+h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}+ ... +1]=$

$=y^n+h[(y+1)^n-y^n].$

Можно взять

$0 < h < \frac{\epsilon }{(y+1)^n-y^n};$

тогда мы получим

$(y+h)^n\leq y^n+\epsilon =x,$

что противоречит определению (1.10).

Таким образом, $y^n \geq x$ .

Пусть $~y^n>x, ~y^n-x=\epsilon$ . Для любого положительного числа $~h\leq 1~$ имеем

$(y-h)^n=y^n-ny^{n-1}\cdot h+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h^2- ... + (-1)^nh^n=$

$=y^n-h[ny^{n-1}-\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h+ ... + (-1)^{n-1}h^{n-1}]\geq$

$\geq y^n-h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}\cdot h+ ... + h^{n-1}1]\geq$

$\geq y^n-h[ny^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}y^{n-2}+ ... +1]=$

$=y^n-h[(y+1)^n-y^n].$

Взяв снова

$h < \frac{\epsilon }{(y+1)^n-y^n},$

получим

$(y-h)^n\geq y^n-\epsilon =x,$

что опять противоречит определению (1.10).

Таким образом, $~y^n=x,$ что и требовалось.

Единственность корня следует из неравенства $y_1^n < y_2^n$ при $~0 < y_1 < y_2~ \;\;\;\;\; (5.5.4)$ .

6.5. Некоторые свойства корня

$\forall x,y > 0~~\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}. \;\;\;\;\; (1.11)$

Пусть $~\xi=\sqrt[n]{x}, ~\eta=\sqrt[n]{y}, ~\mu=\sqrt[n]{xy}$ .

$\xi^n=x, ~\eta^n=y, ~\mu^n=xy;$

$\xi^n\cdot \eta^n=xy, ~(\xi\eta)^n=xy=\mu^n.$

В силу единственности корня

$\mu=\sqrt[n]{xy}=\xi\eta=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}.$

Аналогично доказываются, что для положительного числа $~x~$ и любых $~m,n\in N,~~m,n>1$

$\sqrt[n]{ \sqrt[m]{x}}= \sqrt[nm]{x}; \sqrt[n]{x}=\sqrt[nm]{x^m};$

$( \sqrt[n]{x})^m= \sqrt[n]{x^m}; ~~ \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}, ~y\neq 0; \;\;\;\;\;(1.12)$

Имея понятие целочисленной степени и корня, можно определить понятие рациональной степени.

Если $~x>0 ~$ и $~r\in Q~$ , т.е. $~r=m/n,~m,n\in Z, n\neq 0,~$ то степень $~x^r~$ определяется равенством

$x^r\stackrel{def}{=}\sqrt[n]{x^m}$

6.6. Основные свойства рациональной степени

Пусть $~x>0,~y>0,~r_1,~r_2\in Q;$ тогда:

$1^0.~~x^{-r} = \frac{1}{x^r}.~~~~~2^0.~~x^{r_1}\cdot x^{r_2}= x^{r_1+r_2}.$

$3^0.~~(x^{r_1})^{r_2}=x^{r_1\cdot r_2}.~~~~~4^0.~~(xy)^r=x^r\cdot y^r.$

Докажем свойство $1^0$ . Если $~r=\frac{m}{n}~$ , где $~m,n\in Z, ~~ n\neq 0,$ то

$x^{-r} = x^{-\frac{m}{n}}= x^{\frac{-m}{n}}= x^\frac{1}{n}{x^{-m}}=$

$=x^n{\frac{1}{x^{m}}}= \frac{1}{x^{-n}} \frac{1}{x^{m}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}= \frac{1}{x^{r}}.$

Из формул $2^0, 3^0, 4^0$ докажем, например, $2^0~$ (остальные доказываются аналогично). Если

$r_1=\frac{p}{q}, ~r_2=\frac{m}{n}, ~q,n\neq 0, ~p,q,m.n\in Z,$

то, использовав определение рациональной степени, свойства корней и (1.7), получим

$x^{r_1}x^{r_2}= x^{\frac{p}{q}}x^{\frac{m}{n}}= \sqrt[q]{x^p}\cdot \sqrt[n]{x^m}=$

$=\sqrt[nq]{x^{np}}\cdot \sqrt[nq]{x^{mq}}= \sqrt[nq]{x^{np}}\cdot \sqrt[nq]{x^{mq}}= \sqrt[nq]{x^{np}\cdot x^{mq}}=$

$=\sqrt[nq]{x^{np+mq}}= x^{\frac{np+mq}{nq}}= x^{\frac{p}{q}+\frac{m}{n}}= x^{r_1+r_2}.$

Из свойства $4^0$ следует, что

$(\frac{x}{y})^r=\frac{x^r}{y^r}.$

Действительно,

$(\frac{x}{y})^r=(xy^{-1})^r=x^r\cdot (y^{-1})^r= x^r\cdot y^{-r}=x^r\cdot \frac{1}{y^r}= \frac{x^r}{y^r}.$

6.7. Поскольку $~(-x)^n=(-1)^nx^n,$ при $~n~$ четном уравнение $~y^n=x ~(x>0)~$ имеет, кроме положительного решения $~y_1=\sqrt[n]{x}$ , отрицательное решение $~y_2=-\sqrt[n]{x}~$ ; уравнение $~y^n=x ~(x<0)~$ не имеет действительных корней. При нечетном $~n~$ уравнение $~y^n=x ~$ имеет единственное решение $~y=\sqrt[n]{x}$ , при $~x>0~$ и единственное решение $~y=-\sqrt[n]{|x|}$ при $~x<0$ .

Следствия из аксиомы о верхней грани

Оставь комментарий Отменить ответ