С формулировкой аксиом порядка можно ознакомиться тут. На данной странице представлены следствия из аксиомы порядка.
5.1. 1. Если и то .
В самом деле, , так что . Мы получили и Из аксиомы 3.1 следует, что
2. Если и , то .
Из условия следует, что но , ибо в противном случае в силу утверждения 1 этого пункта , что противоречит условию.
Аналогично из следует .
3. Отношения
эквивалентны.
Действительно, из аксиомы 3.3 получаем
Символ означает: «из предложения следует предложение «.
4.
Действительно,
Но если бы имело место , то прибавляя к обеим частям , мы бы получили , что противоречит условию. Поэтому .
Запись означает: «для каждого выполняется предложение .
Запись означает: «предложения и выполняются одновременно».
5.
при этом если хотя бы для одного значения имеет место то и .
Действительно, из аксиомы 3.3 получаем
причем если хотя бы для одного значения , то в силу утверждения 4 этого пункта в соответствующем месте появится знак <, который сохранится и в последующих шагах.
Таким образом, одноименные неравенства можно складывать. В частности
причем если хотя бы для одного значения будем иметь , то и .
Аналогичное утверждение справедливо и при замене всех знаков на или на >.
6. Отношения
эквивалентны.
Это утверждение выводится из 5 так же, как 3 выводилось из аксиомы 3.3.
5.2. Если , число называется неотрицательным (положительным); если же , число называется неположительным (отрицательным). Число одновременно неположительно и неотрицательно.
5.3. Пусть даны два действительных числа и и, например, . Тогда называется минимальным из чисел и , что обозначается , а называется максимальным из чисел и , что обозначается . По индукции можно определить
для любого множества чисел , например,
5.4. Число, равное называется модулем, или абсолютной величиной числа и обозначается символом
Абсолютная величина числа обладает следующими свойствами:
- и .
- . Знак означает: «предложения и эквивалентны (равносильны)».
Свойства 1-2 непосредственно следуют из определения. Докажем неравенство (1.9).
Так что .
доказательство аналогично 3).
Замечание. Из (1.9) по индукции следует, что
5.5.
Это утверждение следует из аксиомы 3.4 и 4.5(2).
В силу аксиомы 3.4 . Отсюда следует требуемое.
В частности
В частности
Действительно, из аксиомы 3.4 имеем
Тогда
Здесь знак можно заменить на .
Так как , то, используя предыдущий результат, получаем или . Здесь знак можно заменить на .
В частности
Отсюда
1) или — очевидно.
2) .
3)
.
4) .
5)
.
5.6.
Поскольку
то отсюда следует утверждение с учетом 5.5 (5).
Действительно,
В частности
5.7.
Действительно, если , то по условию мы должны иметь , что невозможно в силу аксиом порядка.