Аксиомы порядка и следствия из них

С формулировкой аксиом порядка можно ознакомиться тут. На данной странице представлены следствия из аксиомы порядка.

5.1. 1. Если ~x\leq y, ~y\leq z~ и ~x = z, то ~x = y = z.

В самом деле, y\leq z = x, так что y\leq x. Мы получили x\leq y и y\leq x. Из аксиомы 3.1 следует, что y = x.

2. Если ~x < y~ и ~y\leq z, то x < z.

Из условия следует, что ~x\leq z, но ~x\neq z, ибо в противном случае в силу утверждения 1 этого пункта x = y, что противоречит условию.

Аналогично из ~x\leq y, ~y < z~ следует ~x < z.

3. Отношения

    \[x\leq y, ~0\leq y - x, ~-y\leq -x, ~x - y\leq 0\]

эквивалентны.

Действительно, из аксиомы 3.3 получаем

    \[[x\leq y]\Longrightarrow [x +(-x)\leq y + (-x)]\Longrightarrow [0\leq y - x] \Longrightarrow\]

    \[\Longrightarrow [-y + 0\leq -y + y - x] \Longrightarrow [-y\leq -x]\Longrightarrow\]

    \[\Longrightarrow [-y + x\leq -x + x]\Longrightarrow [x - y\leq 0] \Longrightarrow\]

    \[\Longrightarrow [x - y + y\leq 0 + y]\Longrightarrow [x\leq y].\]

Символ \alpha\Longrightarrow \beta означает: «из предложения \alpha следует предложение \beta«.

4. \forall z\in R: ~[x < y]\Longrightarrow [x + z < y + z].

Действительно,

    \[[x < y]\Longrightarrow [(x\leq y) \& (x + z\leq y + z)].\]

Но если бы имело место x + z = y + z, то прибавляя к обеим частям -z, мы бы получили x = y, что противоречит условию. Поэтому x + z < y + z.

Запись \forall x\in E: ~\alpha~ означает: «для каждого x\in E~ выполняется предложение \alpha ".

Запись \alpha \& \beta означает: «предложения \alpha и \beta выполняются одновременно».

5.

    \[[x_1\leq y_1,...,x_n\leq y_n]\Longrightarrow [x_1 + ... + x_n\leq y_1 +... + y_n],\]

при этом если хотя бы для одного значения i имеет место x_i < y_i, то и x_1 + ... + x_n < y_1 + ... + y_n.

Действительно, из аксиомы 3.3 получаем

    \[x_1 + x_2 + ... + x_n\leq y_1 + x_2 + ... + x_n\leq\]

    \[\leq y_1 + y_2 + ... + x_n \leq ... \leq y_1 + y_2 + ... + y_n,\]

причем если x_i < y_i хотя бы для одного значения i, то в силу утверждения 4 этого пункта в соответствующем месте появится знак <, который сохранится и в последующих шагах.

Таким образом, одноименные неравенства можно складывать. В частности

    \[[x_1\leq 0, x_2\leq 0, ..., x_n\leq 0]\Longrightarrow [s = x_1 + x_2 + ... + x_n\leq 0],\]

причем если хотя бы для одного значения i~ будем иметь x_i < 0, то и s < 0.

Аналогичное утверждение справедливо и при замене всех знаков \leq на \geq или на >.

6. Отношения

    \[x < y, ~0 < y - x, ~-y < -x, ~x - y < 0\]

эквивалентны.

Это утверждение выводится из 5 так же, как 3 выводилось из аксиомы 3.3.

    \[[x < y, ~-x\leq -x]\Longrightarrow [x + (-x) < y + (-x)]\Longrightarrow\]

    \[\Longrightarrow [0 < y -x];\]

    \[[0 < y - x, ~-y\leq -y]\Longrightarrow [-y + 0 < -y + (y - x)]\Longrightarrow\]

    \[\Longrightarrow [-y < -x];\]

    \[[-y < -x, ~x\leq x]\Longrightarrow [x - y < x + (-x)]\Longrightarrow [x - y < 0];\]

    \[[x - y < 0, y\leq y]\Longrightarrow [x - y + y < 0 + y]\Longrightarrow [x < y].\]

5.2. Если x\geq 0 ~(x > 0), число x называется неотрицательным (положительным); если же x\leq 0 ~(x < 0), число x называется неположительным (отрицательным). Число 0 одновременно неположительно и неотрицательно.

5.3. Пусть даны два действительных числа x и y и, например, x\leq y. Тогда x называется минимальным из чисел x и y, что обозначается x=min\{x,y\}, а ~y~ называется максимальным из чисел ~x~ и ~y, что обозначается ~y=max\{x,y\}. По индукции можно определить

    \[min\{x_1,x_2,...,x_n\} ~~\;\;\;\;\; ~~ max\{x_1,x_2,...,x_n\}\]

для любого множества чисел ~\{x_1,x_2,...,x_n\}, например,

    \[min\{x_1,x_2,...,x_n\} = min\{min\{x_1,x_2,...,x_{n-1}\}, x_n\}.\]

5.4. Число, равное ~max\{x,-x\}, называется модулем, или абсолютной величиной числа x и обозначается символом |x|

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x,~&~ ~\mbox{если} ~x\geq 0,\\ -x,~& ~\mbox{если} ~x\leq 0. \end{array} \right. \;\;\;\;\;(1.8)\]

Абсолютная величина числа обладает следующими свойствами:

  1. \forall x\in R: ~~|x|\geq 0 и ~|-x|=|x|.
  2. [|x|\leq a, ~a>0] ~\Longleftrightarrow [-a \leq x \leq a, a>0]. Знак \alpha ~\Longleftrightarrow ~\beta ~ означает: «предложения \alpha и \beta эквивалентны (равносильны)».
  3. \forall x,y\in R:|x+y|\leq |x|+|y| \;\;\;\;\;(1.9)

Свойства 1-2 непосредственно следуют из определения. Докажем неравенство (1.9).

1) ~x\geq 0, ~y\geq 0:

    \[[(x\geq 0)\&(y\geq 0)] ~\Longrightarrow ~[x+y\geq 0] ~\Longrightarrow\]

    \[~\Longrightarrow ~[|x+y|=x+y] ~\Longrightarrow ~[|x+y|=|x|+|y|].\]

2) ~x<0, ~y<0:

    \[[(x<0)\&(y<0)] ~\Longrightarrow ~[x+y<0] ~\Longrightarrow\]

    \[~\Longrightarrow ~[|x+y|=-(x+y)] ~\Longrightarrow ~[|x+y|=-x-y] ~\Longrightarrow\]

    \[~\Longrightarrow ~[|x+y|=|x|+|y|].\]

3) ~x\geq 0, ~y\leq 0:

    \[~x+y\leq x \leq x+|y|=|x|+|y|,\]

    \[~-(x+y)\leq -y=|y|\leq |x|+|y|,\]

Так что |x+y|=max\{(x+y), -(x+y)\} \leq|x|+|y|.

4)~x\leq 0,~~y\geq 0: доказательство аналогично 3).

Замечание. Из (1.9) по индукции следует, что

    \[|x_1+x_2+...+x_n|\leq |x_1|+|x_2|+...+|x_n|.\]

5.5.

    \[1.~[(x>0)\&(y>0)] ~\Longrightarrow ~[xy>0]\]

Это утверждение следует из аксиомы 3.4 и 4.5(2).

    \[2. \forall ~z>0: ~[x\leq y] ~\Longrightarrow~[xz\leq yz].~~~\]

В силу аксиомы 3.4 ~yz-xz=(y-x)z\geq 0. Отсюда следует требуемое.

    \[3. \forall~ z>0~~[x<y] \Longrightarrow [xz<yz]\]

В частности

    \[[x>1]~\Longrightarrow~[x^2>x] ~ \;\;\;\;\;~ [0<x<1]~\Longrightarrow~[x^2<x]\]

    \[4. [(x\leq y)\&(0<z\leq u)] ~\Longrightarrow ~[xz\leq yz\leq yu].\]

В частности

    \[~[0<x<y] ~\Longrightarrow ~[x^2<y^2,...,x^n<y^n].\]

    \[5.~[(x\leq 0)\&(y\geq 0)] ~\Longrightarrow ~[xy\leq 0].~~~\]

Действительно, из аксиомы 3.4 имеем ~(-x)\cdot y\geq 0.

Тогда

    \[(-x)\cdot y= -1\cdot x \cdot y = -(xy) \geq 0, => ~~xy\leq 0.\]

Здесь знак ~\leq~ можно заменить на <.

    \[6. [(x\leq 0)\&(y\leq 0)] ~\Longrightarrow ~[xy\geq 0].\]

Так как ~[y\leq 0] ~\Longrightarrow ~[-y\geq 0], то, используя предыдущий результат, получаем ~-xy\leq 0~ или ~xy\geq 0. Здесь знак ~\leq~ можно заменить на ~<.

В частности

    \[[ x\neq 0 ] ~\Longrightarrow ~[x^2=x\cdot x > 0].\]

Отсюда

    \[1 = 1\cdot 1 > 0,~~2 = 1+1 > 1+0 = 1,~~3 = 2+1 > 2 ~\mbox{и т.д.}\]

    \[7.~\forall x, y\in R: |xy| = |x|\cdot |y|.~~~~~~\]

1) x = 0 или y= 0 — очевидно.

2) x\geq 0, ~y\geq 0 : ~|xy| = xy = |x|\cdot |y|.

3) x<0, ~y0, ~~|xy| = xy = - |x|\cdot (- |y|) =

~~~=|x|\cdot |y|.

4) x>0, ~y  \(~~~=|x|\cdot |y|.

5) x<0, ~y>0 : ~xy<0, ~~|xy| = - xy = -x\cdot y =

~~~=|x|\cdot |y|.

5.6.

    \[1. \; [x>0]\Longrightarrow [\frac{1}{x} > 0]; ~~[x<0]\Longrightarrow [\frac{1}{x}<0]\]

Поскольку

    \[[x>0]\Longrightarrow [x\cdot\frac {1}{x} = 1>0] \Longrightarrow [x\cdot\frac{1}{x}>0]\]

то отсюда следует утверждение с учетом 5.5 (5).

    \[2. ~~[0<x<y]\Longrightarrow [0<\frac{1}{y}<\frac{1}{x}].\]

Действительно,

    \[[0<x<y]\Longrightarrow [0\cdot\frac {1}{xy}<x\cdot\frac {1}{xy} <y\cdot\frac {1}{xy}]\Longrightarrow [0<\frac {1}{y}<\frac {1}{x}].\]

В частности

    \[\forall p, q\in N : ~\frac {p}{q}>0.\]

5.7.

    \[[(x\geq 0)\&(\forall a\in R, a>0 : x<a)]\Longrightarrow [x = 0]\]

Действительно, если x>0, то по условию мы должны иметь x<x, что невозможно в силу аксиом порядка.

Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *