Аксиомы порядка | Следствия из аксиом порядка

С формулировкой аксиом порядка можно ознакомиться тут. На данной странице представлены следствия из аксиомы порядка.

5.1. 1. Если $~x\leq y, ~y\leq z~$ и $~x = z,$ то $~x = y = z$ .

В самом деле, $y\leq z = x$ , так что $y\leq x$ . Мы получили $x\leq y$ и $y\leq x.$ Из аксиомы 3.1 следует, что $y = x.$

2. Если $~x < y~$ и $~y\leq z$ , то $x < z$ .

Из условия следует, что $~x\leq z,$ но $~x\neq z$ , ибо в противном случае в силу утверждения 1 этого пункта $x = y$ , что противоречит условию.

Аналогично из $~x\leq y, ~y < z~$ следует $~x < z$ .

3. Отношения

$x\leq y, ~0\leq y - x, ~-y\leq -x, ~x - y\leq 0$

эквивалентны.

Действительно, из аксиомы 3.3 получаем

$[x\leq y]\Longrightarrow [x +(-x)\leq y + (-x)]\Longrightarrow [0\leq y - x] \Longrightarrow$

$\Longrightarrow [-y + 0\leq -y + y - x] \Longrightarrow [-y\leq -x]\Longrightarrow$

$\Longrightarrow [-y + x\leq -x + x]\Longrightarrow [x - y\leq 0] \Longrightarrow$

$\Longrightarrow [x - y + y\leq 0 + y]\Longrightarrow [x\leq y].$

Символ $\alpha\Longrightarrow \beta$ означает: «из предложения $\alpha$ следует предложение $\beta$ «.

4. $\forall z\in R: ~[x < y]\Longrightarrow [x + z < y + z].$

Действительно,

$[x < y]\Longrightarrow [(x\leq y) \& (x + z\leq y + z)].$

Но если бы имело место $x + z = y + z$ , то прибавляя к обеим частям $-z$ , мы бы получили $x = y$ , что противоречит условию. Поэтому $x + z < y + z$ .

Запись $\forall x\in E: ~\alpha~$ означает: «для каждого $x\in E~$ выполняется предложение $\alpha "$ .

Запись $\alpha \& \beta$ означает: «предложения $\alpha$ и $\beta$ выполняются одновременно».

$[x_1\leq y_1,...,x_n\leq y_n]\Longrightarrow [x_1 + ... + x_n\leq y_1 +... + y_n],$

при этом если хотя бы для одного значения $i$ имеет место $x_i < y_i,$ то и $x_1 + ... + x_n < y_1 + ... + y_n$ .

Действительно, из аксиомы 3.3 получаем

$x_1 + x_2 + ... + x_n\leq y_1 + x_2 + ... + x_n\leq$

$\leq y_1 + y_2 + ... + x_n \leq ... \leq y_1 + y_2 + ... + y_n,$

причем если $x_i < y_i$ хотя бы для одного значения $i$ , то в силу утверждения 4 этого пункта в соответствующем месте появится знак <, который сохранится и в последующих шагах.

Таким образом, одноименные неравенства можно складывать. В частности

$[x_1\leq 0, x_2\leq 0, ..., x_n\leq 0]\Longrightarrow [s = x_1 + x_2 + ... + x_n\leq 0],$

причем если хотя бы для одного значения $i~$ будем иметь $x_i < 0$ , то и $s < 0$ .

Аналогичное утверждение справедливо и при замене всех знаков $\leq$ на $\geq$ или на >.

6. Отношения

$x < y, ~0 < y - x, ~-y < -x, ~x - y < 0$

эквивалентны.

Это утверждение выводится из 5 так же, как 3 выводилось из аксиомы 3.3.

$[x < y, ~-x\leq -x]\Longrightarrow [x + (-x) < y + (-x)]\Longrightarrow$

$\Longrightarrow [0 < y -x];$

$[0 < y - x, ~-y\leq -y]\Longrightarrow [-y + 0 < -y + (y - x)]\Longrightarrow$

$\Longrightarrow [-y < -x];$

$[-y < -x, ~x\leq x]\Longrightarrow [x - y < x + (-x)]\Longrightarrow [x - y < 0];$

$[x - y < 0, y\leq y]\Longrightarrow [x - y + y < 0 + y]\Longrightarrow [x < y].$

5.2. Если $x\geq 0 ~(x > 0)$ , число $x$ называется неотрицательным (положительным); если же $x\leq 0 ~(x < 0)$ , число $x$ называется неположительным (отрицательным). Число $0$ одновременно неположительно и неотрицательно.

5.3. Пусть даны два действительных числа $x$ и $y$ и, например, $x\leq y$ . Тогда $x$ называется минимальным из чисел $x$ и $y$ , что обозначается $x=min\{x,y\}$ , а $~y~$ называется максимальным из чисел $~x~$ и $~y$ , что обозначается $~y=max\{x,y\}$ . По индукции можно определить

$min\{x_1,x_2,...,x_n\} ~~\;\;\;\;\; ~~ max\{x_1,x_2,...,x_n\}$

для любого множества чисел $~\{x_1,x_2,...,x_n\}$ , например,

$min\{x_1,x_2,...,x_n\} = min\{min\{x_1,x_2,...,x_{n-1}\}, x_n\}.$

5.4. Число, равное $~max\{x,-x\},$ называется модулем, или абсолютной величиной числа $x$ и обозначается символом $|x|$

$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x,~&~ ~\mbox{если} ~x\geq 0,\\ -x,~& ~\mbox{если} ~x\leq 0. \end{array} \right. \;\;\;\;\;(1.8)$

Абсолютная величина числа обладает следующими свойствами:

$\forall x\in R: ~~|x|\geq 0$ и $~|-x|=|x|$ .
$[|x|\leq a, ~a>0] ~\Longleftrightarrow [-a \leq x \leq a, a>0]$ . Знак $\alpha ~\Longleftrightarrow ~\beta ~$ означает: «предложения $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны (равносильны)».
$\forall x,y\in R:|x+y|\leq |x|+|y| \;\;\;\;\;(1.9)$

Свойства 1-2 непосредственно следуют из определения. Докажем неравенство (1.9).

$1) ~x\geq 0, ~y\geq 0:$

$[(x\geq 0)\&(y\geq 0)] ~\Longrightarrow ~[x+y\geq 0] ~\Longrightarrow$

$~\Longrightarrow ~[|x+y|=x+y] ~\Longrightarrow ~[|x+y|=|x|+|y|].$

$2) ~x<0, ~y<0:$

$[(x<0)\&(y<0)] ~\Longrightarrow ~[x+y<0] ~\Longrightarrow$

$~\Longrightarrow ~[|x+y|=-(x+y)] ~\Longrightarrow ~[|x+y|=-x-y] ~\Longrightarrow$

$~\Longrightarrow ~[|x+y|=|x|+|y|].$

$3) ~x\geq 0, ~y\leq 0:$

$~x+y\leq x \leq x+|y|=|x|+|y|,$

$~-(x+y)\leq -y=|y|\leq |x|+|y|,$

Так что $|x+y|=max\{(x+y), -(x+y)\} \leq|x|+|y|$ .

$4)~x\leq 0,~~y\geq 0:$ доказательство аналогично 3).

Замечание. Из (1.9) по индукции следует, что

$|x_1+x_2+...+x_n|\leq |x_1|+|x_2|+...+|x_n|.$

5.5.

$1.~[(x>0)\&(y>0)] ~\Longrightarrow ~[xy>0]$

Это утверждение следует из аксиомы 3.4 и 4.5(2).

$2. \forall ~z>0: ~[x\leq y] ~\Longrightarrow~[xz\leq yz].~~~$

В силу аксиомы 3.4 $~yz-xz=(y-x)z\geq 0$ . Отсюда следует требуемое.

$3. \forall~ z>0~~[x<y] \Longrightarrow [xz<yz]$

В частности

$[x>1]~\Longrightarrow~[x^2>x] ~ \;\;\;\;\;~ [0<x<1]~\Longrightarrow~[x^2<x]$

$4. [(x\leq y)\&(0<z\leq u)] ~\Longrightarrow ~[xz\leq yz\leq yu].$

В частности

$~[0<x<y] ~\Longrightarrow ~[x^2<y^2,...,x^n<y^n].$

$5.~[(x\leq 0)\&(y\geq 0)] ~\Longrightarrow ~[xy\leq 0].~~~$

Действительно, из аксиомы 3.4 имеем $~(-x)\cdot y\geq 0.$

Тогда

$(-x)\cdot y= -1\cdot x \cdot y = -(xy) \geq 0, => ~~xy\leq 0.$

Здесь знак $~\leq~$ можно заменить на $<$ .

$6. [(x\leq 0)\&(y\leq 0)] ~\Longrightarrow ~[xy\geq 0].$

Так как $~[y\leq 0] ~\Longrightarrow ~[-y\geq 0]$ , то, используя предыдущий результат, получаем $~-xy\leq 0~$ или $~xy\geq 0$ . Здесь знак $~\leq~$ можно заменить на $~<$ .