Аксиомы сложения и умножения | Следствия из аксиом

Формулировки аксиом сложения и умножения представлены тут. Следствия из этих аксиом представлены на данной странице.

Следствия из аксиом сложения и умножения

Пусть $e$ — единичный элемент множества $R.$ Тогда любой элемент $e'\in R$ такой, что $xe'=x ~\forall\;\;\; x\in R,$ совпадает с $e$ .

Действительно, используя аксиому 2.1, получим

$e' = e' \cdot e = e \cdot e' = e; ~~e' = e.$

Единичный элемент множества $~R~$ обозначается через 1 (читается: «единица»).

3.2. В множестве $~R~$ существует лишь единственный нулевой элемент.

Пусть элементы $~\nu'$ и $~\nu''$ являются нулевыми в $~R$ . Тогда, используя аксиомы 1.1 и 1.3, будем иметь

$\nu' = \nu' +\nu'' =\nu'' +\nu'=\nu''.$

Нулевой элемент множества $~R~$ обозначается символом $~0~$ (читается: «нуль»).

3.3 В множестве $~R~$ для каждого элемента $x$ существует лишь единственный противоположный элемент.

Допустим, что $~g'~$ и $~g''$ — противоположные элементы некоторому элементу $~x~$ , так что $~x + g' = x + g'' = 0~$ . Тогда из аксиом 1.1 — 1.3 получим

$g'' = 0 + g'' = (x + g') + g'' = x + (g' + g'') =$

$= x + (g'' + g') = (x + g'') + g' = 0 + g' = g', ~~~g''=g'.$

Элемент, противоположный элементу $~x,~$ обозначается через $- x$ .

3.4. Для операции сложения элементов $~x~$ и $~y~$ существует обратная операция, называемая вычитанием: элементам $x$ и $y$ сопоставляется элемент, обозначаемый $~x - y~$ и определяемый соотношением

$x - y \stackrel{def}{=} x + (-y)$

( $def$ — «утверждение справедливо по определению»).
Элемент $~x - y~$ называется разностью $x$ и $y$ .

3.5. Элемент, противоположный сумме, есть сумма элементов, противоположных каждому слагаемому.

Действительно,

$-x - y + (x + y) = -x - y + x + y = -x + x - y + y = 0 + 0 = 0$

3.6. Уравнение

$a + x = b \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1.1)$

имеет в $~R~$ единственное решение, равное $b - a$ .

Действительно, используя аксиомы 1.1-1.3, находим

$(a + x) - a = b - a ;~~a + (x - a) = b - a ;~~a + (-a + x) = b - a ;$

$(a - a) + x = b - a ;~~ 0 + x = b - a ;~~x = b - a.$

Таким образом, если решение существует, то оно равно $~b - a~$ . Но $~b - a~$ есть решение уравнения (1.1.), так как

$a + (b - a) = a + b + (-a) = a + (-a) + b = 0 + b = b.$

3.7. В множестве $~R~$ для каждого элемента $~x \neq 0~$ существует лишь единственный обратный элемент.

Пусть $~r'$ и $~r''$ — обратные элементы для некоторого элемента $x$ , так что $xr' = 1~$ и $~xr'' = 1$ . Тогда из аксиом 2.1 — 2.3 следует

$r'' = 1 \cdot r'' = (xr') \cdot r'' = x \cdot (r'r'') = x \cdot (r''r') =$

$= (xr'') \cdot r' = 1 \cdot r' = r'. ~~r''=r'.$

Элемент, обратный элементу $x$ , обозначается символом $~\frac{1}{x}$ или $~1/x$ .

3.8. Для операции умножения элементов $x,y$ , $y \neq 0$ существует обратная операция, называемая делением: элементам $x$ и $y$ $(y \neq 0)$ сопоставляется элемент, обозначаемый $\frac{x}{y}$ и определяемый соотношением

${x}{y} \stackrel{def}{=} x\cdot1y, ~~y\neq0.$

Элемент $\frac{x}{y}$ называется частным от деления элемента $x$ на элемент $y$ .

3.9. Элемент $~\frac{1}{xy}~$ , обратный произведению $~xy~$ , равен произведению элементов, обратных к $x$ и $y$ .

Действительно,

$\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot {xy}= \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot{x} \cdot {y} = \frac{1}{x}\cdot{x}\cdot \frac{1}{y} \cdot {y} = 1 \cdot 1 = 1.$