Следствия из аксиом сложения и умножения

Формулировки аксиом сложения и умножения представлены тут. Следствия из этих аксиом представлены на данной странице.

Следствия из аксиом сложения и умножения

Пусть e — единичный элемент множества R. Тогда любой элемент e'\in R такой, что xe'=x ~\forall\;\;\; x\in R, совпадает с e.

Действительно, используя аксиому 2.1, получим

    \[e' = e' \cdot e = e \cdot e' = e; ~~e' = e.\]

Единичный элемент множества ~R~ обозначается через 1 (читается: «единица»).

3.2. В множестве ~R~ существует лишь единственный нулевой элемент.

Пусть элементы ~\nu' и ~\nu'' являются нулевыми в ~R. Тогда, используя аксиомы 1.1 и 1.3, будем иметь

    \[\nu' = \nu' +\nu'' =\nu'' +\nu'=\nu''.\]

Нулевой элемент множества ~R~ обозначается символом ~0~ (читается: «нуль»).

3.3 В множестве ~R~ для каждого элемента x существует лишь единственный противоположный элемент.

Допустим, что ~g'~ и ~g'' — противоположные элементы некоторому элементу ~x~, так что ~x + g' = x + g'' = 0~. Тогда из аксиом 1.1 — 1.3 получим

    \[g'' = 0 + g'' = (x + g') + g'' = x + (g' + g'') =\]

    \[= x + (g'' + g') = (x + g'') + g' = 0 + g' = g', ~~~g''=g'.\]

Элемент, противоположный элементу ~x,~ обозначается через - x.

3.4. Для операции сложения элементов ~x~ и ~y~ существует обратная операция, называемая вычитанием: элементам x и y сопоставляется элемент, обозначаемый ~x - y~ и определяемый соотношением

    \[x - y \stackrel{def}{=} x + (-y)\]

(def — «утверждение справедливо по определению»).
Элемент ~x - y~ называется разностью x и y.

3.5. Элемент, противоположный сумме, есть сумма элементов, противоположных каждому слагаемому.

Действительно,

    \[-x - y + (x + y) = -x - y + x + y = -x + x - y + y = 0 + 0 = 0\]

3.6. Уравнение

    \[a + x = b \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1.1)\]

имеет в ~R~ единственное решение, равное b - a.

Действительно, используя аксиомы 1.1-1.3, находим

    \[(a + x) - a = b - a ;~~a + (x - a) = b - a ;~~a + (-a + x) = b - a ;\]

    \[(a - a) + x = b - a ;~~ 0 + x = b - a ;~~x = b - a.\]

Таким образом, если решение существует, то оно равно ~b - a~. Но ~b - a~ есть решение уравнения (1.1.), так как

    \[a + (b - a) = a + b + (-a) = a + (-a) + b = 0 + b = b.\]

3.7. В множестве ~R~ для каждого элемента ~x \neq 0~ существует лишь единственный обратный элемент.

Пусть ~r' и ~r'' — обратные элементы для некоторого элемента x, так что xr' = 1~ и ~xr'' = 1. Тогда из аксиом 2.1 — 2.3 следует

    \[r'' = 1 \cdot r'' = (xr') \cdot r'' = x \cdot (r'r'') = x \cdot (r''r') =\]

    \[= (xr'') \cdot r' = 1 \cdot r' = r'. ~~r''=r'.\]

Элемент, обратный элементу x, обозначается символом ~\frac{1}{x} или ~1/x.

3.8. Для операции умножения элементов x,y, y \neq 0 существует обратная операция, называемая делением: элементам x и y (y \neq 0) сопоставляется элемент, обозначаемый \frac{x}{y} и определяемый соотношением

    \[{x}{y} \stackrel{def}{=} x\cdot1y, ~~y\neq0.\]

Элемент \frac{x}{y} называется частным от деления элемента x на элемент y.

3.9. Элемент ~\frac{1}{xy}~, обратный произведению ~xy~, равен произведению элементов, обратных к x и y.

Действительно,

    \[\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot {xy}= \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot{x} \cdot {y} = \frac{1}{x}\cdot{x}\cdot \frac{1}{y} \cdot {y} = 1 \cdot 1 = 1.\]

3.10. Для любого ~x \in R~ справедливо равенство

    \[~0 \cdot x= 0~\]

Действительно,

    \[0 \cdot x + 1 \cdot x = (0 + 1) \cdot x = 1 \cdot x = x,\]

    \[0 \cdot x + 1 \cdot x = 0 \cdot x + x ,\]

откуда x = 0 \cdot x + x . В силу 3.5, ~0 \cdot x = x - x = 0.

Отсюда следует, что 0 не имеет обратного, поскольку равенство ~0 \cdot x = 1 невозможно.

3.11. Если xy = 0~ и ~x \neq 0~, то ~y=0.

    \[~y = \left (\frac{1}{x}\cdot x\right)\cdot y = \frac{1}{x} \cdot (xy) = \frac{1}{x} \cdot 0 = 0.\]

Таким образом, если произведение равно нулю, то (по крайней мере) один из множителей равен нулю.

3.12. Для любого ~x \in R

    \[-x = (-1) \cdot x\]

В самом деле,

    \[(-1) \cdot x + x = [(-1) + 1] \cdot x= 0 \cdot x = 0;\]

    \[(-1) \cdot x + x + (-x) = 0 + (-x);\]

    \[(-1) \cdot x + 0 = -x ;~~~(-1) \cdot x = -x .\]

3.13. Если ~x = y, то для любого ~z \in R

    \[xz = yz.\]

Это утверждение следует из равенства

    \[xz - yz = (x - y) \cdot z = 0 \cdot z = 0.\]

    \[(x - y = x + (-y) = x + (-1) \cdot y = x + (-1) \cdot x = x + (-x) = 0)\]

3.14. Уравнение

    \[ax = b\;\;\;(a\neq 0) \;\;\;\;\;(1.2)\]

имеет в R единственное решение, равное \frac {b}{a}.

Действительно, используя 4.7. и аксиомы умножения, находим

    \[\frac {1}{a} \cdot (ax) = \frac {1}{a} \cdot b; ~~(\frac {1}{a} \cdot a) \cdot x = \frac {b}{a}; ~~1 \cdot x = \frac {b}{a}; ~~x = \frac {b}{a},\]

так что если решение (1.2) существует, то оно равно b/a. Но b/a есть решение (1.4), так как

    \[a \cdot\frac {b}{a} = (a \cdot\frac {1}{a}) \cdot b = 1 \cdot b = b.\]

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *