Определение множества действительных чисел

Существуют различные построения теории действительных чисел:

аксиматическое, с помощью сечений в множестве рациональных чисел,
на основе бесконечных десятичных дробей.

Рассмотрим аксиоматический метод построения, где множество действительных чисел определяется в целом как множество элементов с некоторыми операциями и отношениями: свойства операций и отношений задаются системой аксиом, разбитой на четыре группы. В первую группу входят аксиомы сложения, во вторую — аксиомы умножения, в третью — аксиомы порядка, в четвертую — аксиома о верхней грани.

Определение: Множество элементов $x, y, z,...$ называется множеством $~R~$ действительных (или вещественных) чисел, если для этих элементов установлены следующие операции и отношения 1-4.

1. Операция сложения: для любых элементов $x, y\in R$ сопоставлен некоторый элемент $s\in R,$ называемый их суммой и обозначаемый через $x + y$ , таким образом, что выполняются условия:

1.1. Для любых $x, y \in R$ выполнимо

$x + y = y + x$

— коммутативность операции сложения.

1.2. Для любых $x, y, z \in R$

$(x + y) + z = x + (y + z)$

— ассоциативность операции сложения.
Аксиома 1.2 позволяет писать сумму без скобок, считая $x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z).$ Вследствие аксиомы 1.1 безразличен также и порядок записи элементов.

1.3. Существует элемент $\nu\in R$ такой, что для любого $x \in R$

$x + \nu = x.$

Элемент $\nu$ называется нулевым.

1.4. Для любого элемента $x \in R$ существует элемент $g$ такой, что

$x + g = \nu.$

Элемент $g$ называется противоположным для $x$ .

Элементы $x$ и $y$ в сумме $x + y$ называются слагаемыми.

2. Операция умножения: для любых элементов $x, y\in R$ поставлен в соответствие элемент $p\in R$ , называемый их произведением и обозначаемый через $x \cdot y$ (или $xy$ ), так что при этом выполняются условия:

2.1. Для любых $x, y\in R$

$x y = y x$

— коммутативность операции умножения.

2.2. Для любых $x, y, z\in R$

$(x y) z = x (y z)$

— ассоциативность операции умножения.
Аксиома 2.2 позволяет считать, что выражение $x y z$ имеет однозначный смысл.

2.3. Существует элемент $e\in R$ такой, что для любого $x\in R$

$x\cdot e = x.$

Элемент $e$ называется единичным.

2.4. Для любого элемента $x$ , кроме $\nu$ , в $R$ существует элемент $r\in R$ такой, что

$x r = e .$

Элемент $r$ называется обратным элементу $x$ .

2.5. Для любых $x, y, z\in R$ справедливо равенство

$x (y + z) = x y + xz$

(дистрибутивность операции умножения относительно операции сложения).
Элементы $x$ и $y$ в произведении $xy$ называются множителями.

3. Отношение порядка: для любых элементов $x, y\in R$ справедливы соотношения: или $x\leq y$ ( $x$ меньше или равно $y$ ), или $y\leq x$ , или и то и другое со следующими свойствами:

3.1. $x\leq x$ для каждого $x$ ; из $~x\leq y, ~y\leq x$ следует

$x = y$

3.2. Из $~x\leq y, ~y\leq z~$ следует $~x\leq z$ .

3.3. Из $x\leq y$ для любого $z\in R$ следует $x + z\leq y + z$ .

3.4. Из $0\leq x, ~0\leq y$ следует $~0\leq xy$ .

Отношение $x\leq y$ записывается также в виде $y\geq x$ ( $y$ больше или равно $x$ ). Отношение $x\leq y$ при $x\neq y$ записывается в виде $~x<y~$ ( $x$ меньше $y$ ) или $y > x$ ( $y$ больше $x$ ).

4. Верхняя грань множества. Множество $M\subset R$ называется ограниченным сверху, если существует такой элемент $~\eta\in R$ , что $~x\leq \eta~$ для каждого $x\in M$ ; это соотношение записывается в виде $M\leq \eta$ . Всякий элемент $\eta$ , обладающее по отношению к множеству указанным свойством, называется верхней гранью множества $M$ . Верхняя грань $\overline{\eta}$ называется точной верхней гранью множества $M$ , если любая другая верхняя грань $\eta$ множества $M$ больше или равна $\overline{\eta}$ . Точная верхняя грань множества $M$ обозначается $~sup~M$ (от латинского $supremum$ — высшее).

4.1. Аксиома о верхней грани. Всякое ограниченное сверху множество $M\subset R$ обладает точной верхней гранью.

Из приведенных выше четырех аксиом следует система следствий, которая дает полный набор свойств множества действительных чисел, используемых при построении математического анализа. Ознакомиться со следствиями из данных аксиом можно по следующим ссылкам:

Следствия из аксиом сложения и умножения
Следствия из аксиомы порядка
Следствия из аксиомы о верхней грани

Оставь комментарий Отменить ответ