Введение множества

Начальные сведения о множествах

Понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству являются первичными, неопределяемыми в математике. Множества обозначаются заглавными буквами латинского или другого алфавита а их элементы — малыми буквами. Если — элемент множества , то пишут (читается: принадлежит множеству ). Если же не принадлежит множеству то пишут . Запись или означает, что каждый элемент множества является элементом множества ; в этом случае множество называют подмножеством множества .

Множества и называются равными, если и . Таким образом, равенство множеств, записываемое символически означает, что одно и то же множество обозначено разными буквами и . Аналогичная запись для элементов означает, что и и есть один и тот же элемент.

Запись означает, что множество состоит из элементов и, возможно, каких-то других элементов, заданных тем или иным способом. Если множество состоит из всех элементов , обладающих некоторым свойством , то пишут , где в фигурных скобках после вертикальной черты записано указанное свойство элементов множества

К числу множеств относят и так называемое пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается символом .

Из определения подмножества следует, что , каково бы ни было множество ; принято также считать, по определению, что пустое множество является подмножеством каждого множества: .

Если и существует такой элемент , но , то множество называется собственным подмножеством множества .

Операции над множествами

Пусть заданы множества и .

Через обозначается множество всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств и , и называется объединением этих множеств; через обозначается множество всех элементов, каждый из которых одновременно принадлежит как множеству , так и множеству , и называется пересечением множеств и .