Множество натуральных чисел: элементы множества и их свойства

Введем понятие множества натуральных чисел. Начнем со следующего, используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества $R$ следующим образом: обозначим сумму $1 + 1$ символом 2 и назовем его числом «два» $(2 = 1 + 1)$ ; обозначим сумму $2 + 1$ символом 3 и назовем его числом «три» $(3 = 2 + 1)$ ; аналогично определяем последовательно числа, называемые «четыре», «пять», и т.д. и обозначаемые символами $4 ~~(4 = 3 + 1), ~~5 ~~(5 = 4 + 1)$ и т.д.

Элементы множества

$\{1,2,3,4,5,...\} \;\;\;\;\;(1.3)$

называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через $N$ .

Обозначим через $n$ произвольно фиксированное натуральное число $(n \in N);$ число $(n + 1 \in N)$ называется числом, непосредственно следующим за числом $n$ , а само $n$ — непосредственно предшествующим числу $n + 1$ .

Свойства натуральных чисел

Множество натуральных чисел $N$ обладает следующим свойством.

Если множество $M$ таково, что: $1) ~M \subset N$ ; $2) ~1 \in M$ ; $3) ~n \in M$ следует, что $n + 1 \in M$ , то

$M = N$

В самом деле, по условию 2) $~1 \in M,$ поэтому, согласно свойству 3) и $2 \in M$ и $3 \in M$ и т.д. Но любое натуральное число $~n \in N~$ получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому $n \in M$ , т.е. $N \subset M$ .

Итак, имеем $M \subset N$ и $N \subset M$ . По определению это означает, что $M = N$ .

Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.

Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) $n = 1,2,...,$ и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с произвольным номером $n \in N$ следует справедливость утверждения с номером $n + 1$ , то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.

Операции натуральными числами

Операция сложения. Пусть $m$ — произвольное натуральное число. Если $n\neq 1$ — какое-нибудь число из $N$ , то

$m + n = [m + (n - 1)] + 1.$

Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например,

$3 + 2 = (3 + (2 - 1)) + 1 = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5$

Операция умножения. Пусть $m$ — произвольное натуральное число. Если $n\neq 1$ — какое-нибудь число из $N$ , то

$m\cdot n = [m\cdot (n - 1)] + m.$

Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например,

$3\cdot 4 = [3\cdot (4 -1)] + 3 = (3\cdot 3) + 3 = [3\cdot (3 - 1) + 3]+3=$

$=(3\cdot 2)+3+3= [3\cdot (2 - 1) + 3] + 6 =$

$= (3\cdot 1 + 3) + 6 = 6 + 6 = 12$

Для любых $~a_1, a_2,..., a_n ~(n\geq 2)~$ из $~R~$ и $~b\in R$

$(a_1 + a_2 +...+a_n)b = a_1b + a_2b +...+a_nb.$

В самом деле, при $n = 2$ формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при $n = k$ . Покажем, что она справедлива при $n = k + 1:$

$(a_1 + a_2 +...+a_{k+1})b = [(a_1 +...+a_k) + a_{k+1}]b =$

$= (a_1 +...+a_k)b + a_{k+1}b = a_1b +...+ a_kb + a_{k+1}b.$

В частности если $a_1 = a_2 =...= a_n =1$ , то

$(a_1+...+a_n)b = (1 +...+ 1)b = b + b +...b = nb.$

Множество целых чисел

Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.

Множество всех целых чисел обозначается через $Z$ .

Множество рациональных чисел

Частные $\frac{m}{n}$ , где $m, n\in Z, n\neq 0,$ называются рациональными числами (от лат. $ratio$ — отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через $Q$ .

Множество иррациональных чисел

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. $irrationalis$ — неразумный, от $in (ir)$ — отрицательная приставка к $ratio$ — число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через $I$ .

Таким образом,

$N\subset Z\subset Q\subset R, I\subset R, Q\cup I = R \;\;\;\;\;(1.4)$

Число $x$ , умноженное $n$ раз на себя, называется n-й степенью числа $x$ и обозначается через $x^n$ . Таким образом,

$x^n\stackrel{def}{=}\underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n}\;\;\;\;\;(1.5)$

Число $x$ в степени $x^n$ называется основанием степени, а $n$ — показателем степени.

Для любых $x\neq 0$ и $n\in N$ полагают

$x^0 \stackrel{def}{=} 1, x^{-n} \stackrel{def}{=}\frac{1}{x^n} \;\;\;\;\;(1.6)$

( $0^0$ не определяется).

Если $m, n\in Z,$ то

$x^m \cdot x^n = x^{m+n}, {(x^n)}^m = x^{nm} \;\;\;\;\;(1.7)$

для любого $x\in R$ при $m>0$ и $n>0$ и для любого $x\in R$ и $x\neq 0$ при $m\leq 0$ и $n\leq 0$ .

1) $m > 0, n > 0:$

$x^m\cdot x^n ={m} \underbrace {x\cdot x \cdot ...\cdot x}_{n} =\underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{m+n} =x^{m+n}$

2) $x\neq 0 m=0 n\in Z:$

$x^m\cdot x^n = x^0\cdot x^n=1\cdot x^n=x^n=x^{0+n}=x^{m+n};$

3) $x\neq 0 m\in Z n=0:$

$x^m\cdot x^n = x^m\cdot x^0=x^m\cdot 1=x^m=x^{m+0}=x^{m+n};$

4) $x\neq 0, m<0, n>0:$

Пусть $m = -p<0,$ причем $p\leq n;$ тогда

$x^m \cdot x^n = \frac {1}{x^p} \cdot x^n = \frac {1}{x^p} \cdot \underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{p} \underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n-p } =$

$= {1}{x^p}\cdot x^p\cdot x^{n-p}=1\cdot x^{n-p}=x^{n-p}=x^{n+m}.$

Если же $p>n,$ то в соответствии с 4.4

$x^m \cdot x^n = \frac{1}{x^p} \cdot x^n = \frac{1}{x^n \cdot x^{p-n}} \cdot x^n = \frac{1}{x^n} \cdot \frac{1}{x^{p-n}} \cdot x^n = \frac{1}{x^{p-n}} =$