Множество натуральных чисел

Введем понятие множества натуральных чисел. Начнем со следующего, используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества R следующим образом: обозначим сумму 1 + 1 символом 2 и назовем его числом «два» (2 = 1 + 1); обозначим сумму 2 + 1 символом 3 и назовем его числом «три» (3 = 2 + 1); аналогично определяем последовательно числа, называемые «четыре», «пять», и т.д. и обозначаемые символами 4 ~~(4 = 3 + 1), ~~5 ~~(5 = 4 + 1) и т.д.

Элементы множества

    \[\{1,2,3,4,5,...\} \;\;\;\;\;(1.3)\]

называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через N.

Обозначим через n произвольно фиксированное натуральное число (n \in N); число (n + 1 \in N) называется числом, непосредственно следующим за числом n, а само n — непосредственно предшествующим числу n + 1.

Свойства натуральных чисел

Множество натуральных чисел N обладает следующим свойством.

Если множество M таково, что: 1) ~M \subset N; 2) ~1 \in M; 3) ~n \in M следует, что n + 1 \in M, то

    \[M = N\]

В самом деле, по условию 2) ~1 \in M, поэтому, согласно свойству 3) и 2 \in M и 3 \in M и т.д. Но любое натуральное число ~n \in N~ получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому n \in M, т.е. N \subset M.

Итак, имеем M \subset N и N \subset M. По определению это означает, что M = N.

Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.

Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) n = 1,2,..., и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с произвольным номером n \in N следует справедливость утверждения с номером n + 1, то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.

Операции натуральными числами

Операция сложения. Пусть m — произвольное натуральное число. Если n\neq 1 — какое-нибудь число из N, то

    \[m + n = [m + (n - 1)] + 1.\]

Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например,

    \[3 + 2 = (3 + (2 - 1)) + 1 = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5\]

Операция умножения. Пусть m — произвольное натуральное число. Если n\neq 1 — какое-нибудь число из N, то

    \[m\cdot n = [m\cdot (n - 1)] + m.\]

Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например,

    \[3\cdot 4 = [3\cdot (4 -1)] + 3 = (3\cdot 3) + 3 = [3\cdot (3 - 1) + 3]+3=\]

    \[=(3\cdot 2)+3+3= [3\cdot (2 - 1) + 3] + 6 =\]

    \[= (3\cdot 1 + 3) + 6 = 6 + 6 = 12\]

Для любых ~a_1, a_2,..., a_n ~(n\geq 2)~ из ~R~ и ~b\in R

    \[(a_1 + a_2 +...+a_n)b = a_1b + a_2b +...+a_nb.\]

В самом деле, при n = 2 формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при n = k. Покажем, что она справедлива при n = k + 1:

    \[(a_1 + a_2 +...+a_{k+1})b = [(a_1 +...+a_k) + a_{k+1}]b =\]

    \[= (a_1 +...+a_k)b + a_{k+1}b = a_1b +...+ a_kb + a_{k+1}b.\]

В частности если a_1 = a_2 =...= a_n =1, то

    \[(a_1+...+a_n)b = (1 +...+ 1)b = b + b +...b = nb.\]


Множество целых чисел

Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.

Множество всех целых чисел обозначается через Z.

Множество рациональных чисел

Частные \frac{m}{n}, где m, n\in Z, n\neq 0, называются рациональными числами (от лат. ratio — отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через Q.

Множество иррациональных чисел

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. irrationalis — неразумный, от in (ir) — отрицательная приставка к ratio — число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через I.

Таким образом,

    \[N\subset Z\subset Q\subset R, I\subset R, Q\cup I = R \;\;\;\;\;(1.4)\]

Число x, умноженное n раз на себя, называется n-й степенью числа x и обозначается через x^n. Таким образом,

    \[x^n\stackrel{def}{=}\underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n}\;\;\;\;\;(1.5)\]

Число x в степени x^n называется основанием степени, а nпоказателем степени.

Для любых x\neq 0 и n\in N полагают

    \[x^0 \stackrel{def}{=} 1, x^{-n} \stackrel{def}{=}\frac{1}{x^n} \;\;\;\;\;(1.6)\]

(0^0 не определяется).

Если m, n\in Z, то

    \[x^m \cdot x^n = x^{m+n}, {(x^n)}^m = x^{nm} \;\;\;\;\;(1.7)\]

для любого x\in R при m>0 и n>0 и для любого x\in R и x\neq 0 при m\leq 0 и n\leq 0.

1) m > 0, n > 0:

    \[x^m\cdot x^n ={m} \underbrace {x\cdot x \cdot ...\cdot x}_{n} =\underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{m+n} =x^{m+n}\]

2) x\neq 0 m=0 n\in Z:

    \[x^m\cdot x^n = x^0\cdot x^n=1\cdot x^n=x^n=x^{0+n}=x^{m+n};\]

3) x\neq 0 m\in Z n=0:

    \[x^m\cdot x^n = x^m\cdot x^0=x^m\cdot 1=x^m=x^{m+0}=x^{m+n};\]

4) x\neq 0, m<0, n>0:

Пусть m = -p<0, причем p\leq n; тогда

    \[x^m \cdot x^n = \frac {1}{x^p} \cdot x^n = \frac {1}{x^p} \cdot \underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{p} \underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n-p } =\]

    \[= {1}{x^p}\cdot x^p\cdot x^{n-p}=1\cdot x^{n-p}=x^{n-p}=x^{n+m}.\]

Если же p>n, то в соответствии с 4.4

    \[x^m \cdot x^n = \frac{1}{x^p} \cdot x^n = \frac{1}{x^n \cdot x^{p-n}} \cdot x^n = \frac{1}{x^n} \cdot \frac{1}{x^{p-n}} \cdot x^n = \frac{1}{x^{p-n}} =\]

    \[=\frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.\]

(x\neq 0, m>0, n>0 — аналогично)

5) x\neq 0, m<0, n<0:

Полагая m =-p, n=-q и используя снова 4.4, получим:

    \[x^m \cdot x^n = \frac{1}{x^p} \cdot \frac{1}{x^q} = \frac{1}{x^p \cdot x^q} = \frac{1}{x^{p+q}} = \frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.\]

4.6. Если p\neq 0, q\neq 0, то

    \[{x}{p}+{y}{q}={xq+yp}{pq}.\]

Действительно,

    \[{xq+yp}{pq}={1}{pq}(xq+yp)={1}{pq}\cdot xq+{1}{pq}\cdot yp=\]

    \[={1}{p}\cdot x\cdot {1}{q}\cdot q+{1}{q}\cdot y\cdot {1}{p}\cdot p=\]

    \[={x}{p}\cdot 1 + {y}{q}\cdot 1={x}{p} + {y}{q}.\]

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (голосов: 1, в среднем: 5,00 из 5)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *