Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением 2-х ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число равное произведению длин этих двух векторов на косинус угла $\varphi$ между ними.
$\left (\vec{a},\vec{b} \right )=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |cos\varphi$
С другой стороный скалярное произведение векторов можно найти по формуле:
$\left (\vec{a},\vec{b} \right )=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$
где $a_{x},a_{y},a_{z}$ — координаты вектора $\vec{a}$ ,
а $b_{x},b_{y},b_{z}$ — координаты вектора $\vec{b}$ .

Свойства скалярного произведения

$\left (\vec{a},\vec{b} \right )=\left (\vec{b},\vec{a} \right )$
$\vec{a}\left (\vec{b},\vec{c} \right )=\left (\vec{a},\vec{b} \right )+\left (\vec{a},\vec{c} \right )$
$\left (\lambda \vec{a},\vec{b} \right )=\lambda \left (\vec{b},\vec{a} \right )$
$\left (\vec{a},\vec{a} \right )=\left |\vec{a} \right |^2$
$\left (\vec{a},\vec{b} \right )=0\Rightarrow \vec{a}\perp\vec{b}$ , то есть вектора ортогональны.

Определение: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

Примеры с решением по теме скалярное произведение векторов

Пример:

Даны точки А(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1). Найти точку D(0;0;a) такую, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были ортогональными.

Решение:

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ ортогональны по условию, то это означает, что $\vec{AB}\perp\vec{CD} \Rightarrow \left (\vec{AB},\vec{CD} \right )=0$

Найдем координаты векторов: $\vec{AB}=\left \{ -2;1;1 \right \}$ и $\vec{CD}=\left \{ 0;-2;a+1 \right \}$ .

Так как вектора ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть

$\left (\vec{AB},\vec{CD} \right )= (-2)\cdot 0+1\cdot(-2)+1\cdot(a+1)=-2+a+1=a-1=0$

откуда получим a = 1, а координаты D(0;0;1).

Пример:

$\left |\vec{x} \right |=2$ , $\left |\vec{y} \right |=5$ , $\left \{ \vec{x},\vec{y} \right \}=\frac{\pi }{3}$ . Найти:

$\left ( \vec{x},\vec{y} \right )$
$\left ( \vec{x}-\vec{y} \right )^2$
$\left ( \vec{3x}-\vec{2y} \right )^2$
$\left ( \vec{3x}+\vec{2y}, \vec{y}-\vec{4x} \right )$

Решение:

$\left (\vec{x},\vec{y} \right )=\left | \vec{x} \right |\cdot \left | \vec{y} \right |cos\left \{ \vec{x},\vec{y} \right \}=2\cdot 5\cdot cos\frac{\pi }{3}=10\cdot \frac{1}{2}=5$
$\left (\vec{x}-\vec{y} \right )^2=\left (\vec{x}-\vec{y} ,\vec{x}-\vec{y} \right ) =\left (\vec{x},\vec{x} \right )-\left (\vec{x},\vec{y} \right )-\left (\vec{y},\vec{x} \right )+\left (\vec{y},\vec{y} \right )=$ $\left |\vec{x} \right |^2-2\left (\vec{x},\vec{y} \right )+\left |\vec{y} \right |^2=2^2-2\cdot 5+5^2=4-10+25=19$
$\left ( \vec{3x}+\vec{2y} \right )^2=\left ( \vec{3x}+\vec{2y}, \vec{3x}+\vec{2y}\right )=$ $\left ( \vec{3x},\vec{3x}\right )+\left ( \vec{2y},\vec{3x}\right )+\left ( \vec{3x},\vec{2y}\right )+\left ( \vec{2y},\vec{2y}\right )=$ $9\left ( \vec{x},\vec{x}\right )+6\left ( \vec{y},\vec{x}\right )+6\left ( \vec{x},\vec{y}\right )+4\left ( \vec{y},\vec{y}\right )= 9\left |\vec{x} \right |^2+12\left ( \vec{x},\vec{y}\right )+4\left |\vec{y} \right |^2$ $=9\cdot 2^2+12\cdot 5+4\cdot 5^2=36+60+100=196$
$\left ( \vec{3x}+\vec{2y}, \vec{y}-\vec{4x} \right )= \left ( \vec{3x},\vec{y}\right )-\left ( \vec{3x},\vec{4x}\right )+\left ( \vec{2y},\vec{y}\right )-\left ( \vec{2y},\vec{4x}\right )=$ $3\left ( \vec{x},\vec{y}\right )-12\left ( \vec{x},\vec{x}\right )+2\left ( \vec{y},\vec{y}\right )-8\left ( \vec{y},\vec{x}\right )=-5\left ( \vec{x},\vec{y}\right )-12 \left | \vec{x} \right | ^2+2 \left | \vec{y}\right |^2=$ $-5\cdot 5-12\cdot 4+2\cdot 25=-25-48+50=-23$