Эквивалентные множества: определение, примеры

Конечные множества легко сравниваются между собой в количественном отношении, т.е. по числу содержащихся в них элементов, например, с помощью непосредственного подсчета. При переходе к бесконечным множествам подсчет числа элементов, очевидно, теряет смысл и потому сравнение осуществляют с помощью понятия взаимно однозначного соответствия между их элементами.

Пусть даны два множества $X$ и $Y$ . Говорят, что между множествами $~X~$ и $~Y~$ установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому $~x\in X~$ сопоставлен единственный элемент $~y\in Y~$ , причем каждый элемент $~y\in Y~$ оказывается сопоставленным одному и только одному $~x\in X$ . Соответствие между элементами $x\in X~$ и $~y\in Y$ , обозначается $x\leftrightarrow y$ .

Определение. Два множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается $X\sim Y)$ , если между множествами $X$ и $Y$ может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Ясно, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа элементов, так что понятие одинаковой мощности есть обобщение понятия одинаковой численности конечных множеств. Легко видеть, что отношение эквивалентности симметрично $(X\sim X)$ , рефлексивно (если $X\sim Y$ , то $~Y\sim X$ ) и транзитивно (если $X\sim Y$ , а $Y\sim S$ , то $X\sim S$ ).