Конечные множества легко сравниваются между собой в количественном отношении, т.е. по числу содержащихся в них элементов, например, с помощью непосредственного подсчета. При переходе к бесконечным множествам подсчет числа элементов, очевидно, теряет смысл и потому сравнение осуществляют с помощью понятия взаимно однозначного соответствия между их элементами.
Пусть даны два множества и
. Говорят, что между множествами
и
установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому
сопоставлен единственный элемент
, причем каждый элемент
оказывается сопоставленным одному и только одному
. Соответствие между элементами
и
, обозначается
.
Определение. Два множества и
называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается
, если между множествами
и
может быть установлено взаимно однозначное соответствие.
Ясно, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа элементов, так что понятие одинаковой мощности есть обобщение понятия одинаковой численности конечных множеств. Легко видеть, что отношение эквивалентности симметрично , рефлексивно (если
, то
) и транзитивно (если
, а
, то
).
Примеры эквивалентных множеств
1. Множество натуральных чисел эквивалентно множеству всех четных чисел
.
Соответствие между ними осуществляется по правилу
2. Любые два отрезка и
равной длины
эквивалентны.
Соответствие осуществляется по формуле
3. Отрезок эквивалентен отрезку
.
Соответствие осуществляется по формуле
4. Соответствие
устанавливает эквивалентность интервала (0, 1) и полуоси .