Эквивалентные множества: определение, примеры

Конечные множества легко сравниваются между собой в количественном отношении, т.е. по числу содержащихся в них элементов, например, с помощью непосредственного подсчета. При переходе к бесконечным множествам подсчет числа элементов, очевидно, теряет смысл и потому сравнение осуществляют с помощью понятия взаимно однозначного соответствия между их элементами.

Пусть даны два множества $X$ и $Y$ . Говорят, что между множествами $~X~$ и $~Y~$ установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому $~x\in X~$ сопоставлен единственный элемент $~y\in Y~$ , причем каждый элемент $~y\in Y~$ оказывается сопоставленным одному и только одному $~x\in X$ . Соответствие между элементами $x\in X~$ и $~y\in Y$ , обозначается $x\leftrightarrow y$ .

Определение. Два множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается $X\sim Y)$ , если между множествами $X$ и $Y$ может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Ясно, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа элементов, так что понятие одинаковой мощности есть обобщение понятия одинаковой численности конечных множеств. Легко видеть, что отношение эквивалентности симметрично $(X\sim X)$ , рефлексивно (если $X\sim Y$ , то $~Y\sim X$ ) и транзитивно (если $X\sim Y$ , а $Y\sim S$ , то $X\sim S$ ).

Примеры эквивалентных множеств

1. Множество натуральных чисел $N =\{1, 2,...\}$ эквивалентно множеству всех четных чисел $P =\{2, 4,...\}$ .

Соответствие между ними осуществляется по правилу

$n\leftrightarrow 2n$

2. Любые два отрезка $~[a, b]~$ и $~[a + h, b + h]~$ равной длины $~b - a~$ эквивалентны.

Соответствие осуществляется по формуле

$[~x\in [a, b]~] \leftrightarrow [~y = x + h\in [a + h, b + h]~].$

3. Отрезок $~[0, 1]~$ эквивалентен отрезку $~[a, b]$ .

Соответствие осуществляется по формуле

$[~x\in [0, 1]~] \leftrightarrow [~y = a + (b - a)x\in [a,b]~].$

4. Соответствие

$[~x\in (0, 1)~] \leftrightarrow [~y =\frac {1}{x}\in (1, +\infty)~]$

устанавливает эквивалентность интервала (0, 1) и полуоси $(1,+\infty)$ .

1 комментарий

Кристина:
12.01.2022 в 11:00
«Легко видеть, что отношение эквивалентности симметрично (X\sim X), рефлексивно (если X\sim Y, то ~Y\sim X)»
— помоему скобочки нужно поменять местами
Войдите, чтобы ответить

Оставь комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.