Эквивалентные множества

Конечные множества легко сравниваются между собой в количественном отношении, т.е. по числу содержащихся в них элементов, например, с помощью непосредственного подсчета. При переходе к бесконечным множествам подсчет числа элементов, очевидно, теряет смысл и потому сравнение осуществляют с помощью понятия взаимно однозначного соответствия между их элементами.

Пусть даны два множестваX и Y. Говорят, что между множествами ~X~ и ~Y~ установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому ~x\in X~ сопоставлен единственный элемент ~y\in Y~, причем каждый элемент ~y\in Y~ оказывается сопоставленным одному и только одному ~x\in X. Соответствие между элементами x\in X~ и ~y\in Y, обозначается x\leftrightarrow y.

Определение. Два множества X и Y называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается X\sim Y), если между множествами X и Y может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Ясно, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа элементов, так что понятие одинаковой мощности есть обобщение понятия одинаковой численности конечных множеств. Легко видеть, что отношение эквивалентности симметрично (X\sim X), рефлексивно (если X\sim Y, то ~Y\sim X) и транзитивно (если X\sim Y, а Y\sim S, то X\sim S).

Примеры эквивалентных множеств

1. Множество натуральных чисел N =\{1, 2,...\} эквивалентно множеству всех четных чисел P =\{2, 4,...\}.

Соответствие между ними осуществляется по правилу

    \[n\leftrightarrow 2n\]

2. Любые два отрезка ~[a, b]~ и ~[a + h, b + h]~ равной длины ~b - a~ эквивалентны.

Соответствие осуществляется по формуле

    \[[~x\in [a, b]~] \leftrightarrow [~y = x + h\in [a + h, b + h]~].\]

3. Отрезок ~[0, 1]~ эквивалентен отрезку ~[a, b].

Соответствие осуществляется по формуле

    \[[~x\in [0, 1]~] \leftrightarrow [~y = a + (b - a)x\in [a,b]~].\]

4. Соответствие

    \[[~x\in (0, 1)~] \leftrightarrow [~y =\frac {1}{x}\in (1, +\infty)~]\]

устанавливает эквивалентность интервала (0, 1) и полуоси (1,+\infty).

Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (голосов: 1, в среднем: 5,00 из 5)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *