Криволинейный интеграл первого рода | Вычисление криволинейный интеграл 1 рода

Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y). Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М₀, М₁, М₂, … М_n = B. Затем на каждой из полученных частей $\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ выберем любую точку $\bar{{M}_{i}}\left( \bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)$ и составим сумму

${S}_{n}=\sum_{i=1}^{n}f\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\Delta {l}_{i}$

где $\Delta{l}_{i}={M}_{i-1}{M}_{i}$ — дуга дуги $\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ . Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданой на кривой L.

Обозначим через d наибольшую из длин дуг $\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ (таким образом, d = $max_{i}\Delta{l}_{i}$ ). Если при d ? 0 существует предел интегральных сумм S_n (не зависящих от способа разбиения кривой L на части и выбора точек $\bar{{M}_{i}}$ ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого порядка от функции f(x,y) по кривой L и обозначается

$\int_{L}f(x,y)dl$

Можно доказать, что если функция f(x,y)непрерывна, то криволинейный интеграл $\int_{L}f(x,y)dl$ существует.

Свойства криволинейного интеграла 1 рода

Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойства определеннного интеграла:

аддитивность,
линейность,
оценка модуля,
теорема о среднем.

Однако есть отличие:

$\int_{AB}f(x,y)dl=\int_{BA}f(x,y)dl$

т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x $\in$ [a,b], то
${\int\limits_L {f\left( {x,y} \right)dl} } = {\int\limits_a^b {f\left( {x,y\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {y'\left( x \right)} \right)}^2}} dx} ;}$
при этом выражение $dl=\sqrt{{1 + {{\left( {y'\left( x \right)} \right)}^2}}} dx$ называется дифференциалом длины дуги.
Если крива L задана параметрически, т.е. в виде x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке $\left [ \alpha ,\beta \right ]$ , то
${\int\limits_L {f\left( {x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left ( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right )\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt}}$
Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), $t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$ . В этом случае, если f(x,y,z) — непрерывная функция вдоль кривой L, то
${\int\limits_L {f\left( {x,y,z} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left [ {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right ]\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt}}$
Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r( $\varphi$ ), $\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ]$ , то
${\int\limits_L {f\left( {x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( {r\cos \varphi ,r\sin \varphi } \right)\sqrt {{r^2} + {{{r}'}^2}} d\varphi}}$

Криволинейные интегралы 1 рода — примеры

Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

$\int_{L}\frac{x}{y}dl$

где L дуга параболы y²=2x, заключенная между точками (2,2) и (8,4).

Решение: Найдем дифференциал дуги dl для кривой $y=\sqrt{2x}$ . Имеем:

${y}'=\frac{1}{\sqrt{2x}}$

$dl=\sqrt{1+\left ( {y}' \right )^{2}} dx= \sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{2x}} \right )^{2}} dx = \sqrt{1+ \frac{1}{2x}} dx$

Следовательно данный интеграл равен:

$\int_{L}\frac{x}{y}dl=\int_{2}^{8}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+\frac{1}{2x}}dx= \int_{2}^{8}\frac{x\sqrt{1+2x}}{2x}dx=$

$\frac{1}{2}\int_{2}^{8}\sqrt{1+2x}dx = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )^{\frac{3}{2}}|_{2}^{8}= \frac{1}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5})$

Пример 2

Вычислить криволинейный интеграл первого рода $\int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl$ , где L — окружность x²+y²=ax (a>0).

Решение: Введем полярные координаты: $x = r\cos \varphi$ , $y=r\sin \varphi$ . Тогда поскольку x²+y²=r², уравнение окружности имеет вид: $r^{2}=arcos\varphi$ , то есть $r=acos\varphi$ , а дифференциал дуги