Теорема Кантора о вложенных отрезках с доказательством

Пусть на числовой оси $R$ задано некоторое множество промежутков $G_n, ~n=1,2,...$ , удовлетворяющих условию

$G_1\supset G_2 \supset ...\supset G_n \supset ...$

Такое множество называют системой вложенных промежутков.

Множество, состоящее из всех точек, принадлежащих каждому из множеств $~G_n$ , называется пересечением множеств $~G_n~$ и обозначается $\bigcap\limits_{n} G_n$ .

Так как система вложенных полуинтервалов может не иметь общей точки. Очевидно, что и система вложенных интервалов может не иметь ни одной общей точки. Если же рассматриваемые промежутки являются отрезками, общая точка всегда существует; это составляет содержание следующего предложения:

Теорема. Для любой системы $G$ вложенных отрезков $[a_1,~b_1]\supset [a_2,~b_2]\supset...\supset[a_n,~b_n] \supset...$ существует отрезок $~[\xi,~\eta]$ , принадлежащий всем отрезкам системы $~G$ .

Доказательство. Пусть $~E=\{a_n\}-$ множество левых и $~F=\{b_n\}-$ множество правых концов отрезков системы $~G$ . Для любых двух отрезков $~[a_n,~b_n]\supset [a_m,~b_m]~$ системы $~G~$ имеем $~a_n\leq a_m\leq b_m \leq b_n$ , так что для любых номеров $~m~$ и $~n~$ $~a_m\leq b_n$ . Из 6.3 (2) следует, что $\exists ~[\xi=sup~E]\&[\eta=inf~F]$ , причем $~\xi\leq \eta$ . Для любого $~[a_n, b_n]\in G$ имеем $a_n\leq\xi\leq\eta\leq b_n$ , так что $[a_n, b_n]\supset [\xi,\eta]$ , откуда и $\bigcap\limits_{n} [a_n,~b_n]\supset [\xi,~\eta]$ . Нетрудно убедиться, что $~\bigcap\limits_{n} [a_n,b_n]~$ состоит только из точек отрезка $~[\xi,~\eta]$ : для любой точки $~x~$ , не принадлежащей отрезку $~[\xi,~\eta]$ , например, для $x<\xi$ , найдется левый конец $~a_n$ , для которого $x < a_n\leq \xi=sup\{a_n\}$ , и, следовательно, $~x~$ не принадлежит соответствующему отрезку $~[a_n,~b_n]$ . Если $~\xi=\eta$ , то, говоря об отрезке $~[\xi,~\eta]$ , подразумевают точку $~\xi=\eta$ .

Теорема. Пересечение системы $~G~$ вложенных отрезков состоит из одной единственной точки тогда и только тогда, когда для любого $~\epsilon>0~$ в системе $~G~$ имеется отрезок $~[a_n,~b_n]~$ длины $~b_n-a_n< \epsilon$ .

Доказательство. По принципу Кантора пересечением отрезков системы $~G~$ является отрезок $~[\xi,~\eta]$ , который сводится к одной точке, если $~\xi=\eta$ . Если $~\xi \neq \eta$ , то длина каждого отрезка $~[a_n,~b_n]\supset [\xi,~\eta]~$ системы $~G~$ не меньше, чем $~\eta-\xi$ ; поэтому если в системе $~G~$ имеются отрезки произвольно малой длины, то их пересечением является одна точка.

Обратно, поскольку

$\eta=in f\{b_n|~[a_n,~b_n]\in G\}, ~~\xi=sup\{a_n|~[a_n,~b_n]\in G\},$

в системе $~G~$ для заданного $~\epsilon>0~$ есть отрезок $~[a_p,~b_p]$ , для которого $~a_p>\xi-\epsilon/2$ , и отрезок $~[a_q,~b_q]$ , для которого $~b_q<\eta+\epsilon/2$ . Если, например, $~[a_p,~b_p]\supset [a_q,~b_q]$ , то мы имеем