Теорема Кантора о вложенных отрезках

Пусть на числовой оси R задано некоторое множество промежутков G_n, ~n=1,2,..., удовлетворяющих условию

    \[G_1\supset G_2 \supset ...\supset G_n \supset ...\]

Такое множество называют системой вложенных промежутков.

Множество, состоящее из всех точек, принадлежащих каждому из множеств ~G_n, называется пересечением множеств ~G_n~ и обозначается \bigcap\limits_{n} G_n.

Так как система вложенных полуинтервалов может не иметь общей точки. Очевидно, что и система вложенных интервалов может не иметь ни одной общей точки. Если же рассматриваемые промежутки являются отрезками, общая точка всегда существует; это составляет содержание следующего предложения:

Теорема. Для любой системы G вложенных отрезков [a_1,~b_1]\supset [a_2,~b_2]\supset...\supset[a_n,~b_n] \supset... существует отрезок ~[\xi,~\eta], принадлежащий всем отрезкам системы ~G.

Доказательство. Пусть ~E=\{a_n\}- множество левых и ~F=\{b_n\}- множество правых концов отрезков системы ~G. Для любых двух отрезков ~[a_n,~b_n]\supset [a_m,~b_m]~ системы ~G~ имеем ~a_n\leq a_m\leq b_m \leq b_n, так что для любых номеров ~m~ и ~n~ ~a_m\leq b_n. Из 6.3 (2) следует, что \exists ~[\xi=sup~E]\&[\eta=inf~F], причем ~\xi\leq \eta. Для любого ~[a_n, b_n]\in Gимеем a_n\leq\xi\leq\eta\leq b_n, так что [a_n, b_n]\supset [\xi,\eta], откуда и \bigcap\limits_{n} [a_n,~b_n]\supset [\xi,~\eta]. Нетрудно убедиться, что ~\bigcap\limits_{n} [a_n,b_n]~ состоит только из точек отрезка ~[\xi,~\eta]: для любой точки ~x~, не принадлежащей отрезку ~[\xi,~\eta], например, для x<\xi, найдется левый конец ~a_n, для которого x < a_n\leq \xi=sup\{a_n\}, и, следовательно, ~x~ не принадлежит соответствующему отрезку ~[a_n,~b_n]. Если ~\xi=\eta, то, говоря об отрезке ~[\xi,~\eta], подразумевают точку ~\xi=\eta.

Теорема. Пересечение системы ~G~ вложенных отрезков состоит из одной единственной точки тогда и только тогда, когда для любого ~\epsilon>0~ в системе ~G~ имеется отрезок ~[a_n,~b_n]~ длины ~b_n-a_n< \epsilon.

Доказательство. По принципу Кантора пересечением отрезков системы ~G~ является отрезок ~[\xi,~\eta], который сводится к одной точке, если ~\xi=\eta. Если ~\xi \neq \eta, то длина каждого отрезка ~[a_n,~b_n]\supset [\xi,~\eta]~ системы ~G~ не меньше, чем ~\eta-\xi; поэтому если в системе ~G~ имеются отрезки произвольно малой длины, то их пересечением является одна точка.

Обратно, поскольку

    \[\eta=in f\{b_n|~[a_n,~b_n]\in G\}, ~~\xi=sup\{a_n|~[a_n,~b_n]\in G\},\]

в системе ~G~ для заданного ~\epsilon>0~ есть отрезок ~[a_p,~b_p], для которого ~a_p>\xi-\epsilon/2, и отрезок ~[a_q,~b_q], для которого ~b_q<\eta+\epsilon/2. Если, например, ~[a_p,~b_p]\supset [a_q,~b_q], то мы имеем

    \[a_q\geq a_p>\xi-\epsilon/2, ~~b_q<\eta+\epsilon/2.\]

Если ~\xi=\eta, то ~b_q-a_q<\epsilon, так что в системе ~G~ имеется отрезок длины ~l<\epsilon, и теорема доказана.

Оцените материал
Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *