Пусть на числовой оси задано некоторое множество промежутков , удовлетворяющих условию
Такое множество называют системой вложенных промежутков.
Множество, состоящее из всех точек, принадлежащих каждому из множеств , называется пересечением множеств и обозначается .
Так как система вложенных полуинтервалов может не иметь общей точки. Очевидно, что и система вложенных интервалов может не иметь ни одной общей точки. Если же рассматриваемые промежутки являются отрезками, общая точка всегда существует; это составляет содержание следующего предложения:
Теорема. Для любой системы вложенных отрезков существует отрезок , принадлежащий всем отрезкам системы .
Доказательство. Пусть множество левых и множество правых концов отрезков системы . Для любых двух отрезков системы имеем , так что для любых номеров и . Из 6.3 (2) следует, что , причем . Для любого имеем , так что , откуда и . Нетрудно убедиться, что состоит только из точек отрезка : для любой точки , не принадлежащей отрезку , например, для , найдется левый конец , для которого , и, следовательно, не принадлежит соответствующему отрезку . Если , то, говоря об отрезке , подразумевают точку .
Теорема. Пересечение системы вложенных отрезков состоит из одной единственной точки тогда и только тогда, когда для любого в системе имеется отрезок длины .
Доказательство. По принципу Кантора пересечением отрезков системы является отрезок , который сводится к одной точке, если . Если , то длина каждого отрезка системы не меньше, чем ; поэтому если в системе имеются отрезки произвольно малой длины, то их пересечением является одна точка.
Обратно, поскольку
в системе для заданного есть отрезок , для которого , и отрезок , для которого . Если, например, , то мы имеем
Если , то , так что в системе имеется отрезок длины , и теорема доказана.