Пусть на числовой оси задано некоторое множество промежутков
, удовлетворяющих условию
Такое множество называют системой вложенных промежутков.
Множество, состоящее из всех точек, принадлежащих каждому из множеств , называется пересечением множеств
и обозначается
.
Так как система вложенных полуинтервалов может не иметь общей точки. Очевидно, что и система вложенных интервалов может не иметь ни одной общей точки. Если же рассматриваемые промежутки являются отрезками, общая точка всегда существует; это составляет содержание следующего предложения:
Теорема. Для любой системы вложенных отрезков
существует отрезок
, принадлежащий всем отрезкам системы
.
Доказательство. Пусть множество левых и
множество правых концов отрезков системы
. Для любых двух отрезков
системы
имеем
, так что для любых номеров
и
. Из 6.3 (2) следует, что
, причем
. Для любого
имеем
, так что
, откуда и
. Нетрудно убедиться, что
состоит только из точек отрезка
: для любой точки
, не принадлежащей отрезку
, например, для
, найдется левый конец
, для которого
, и, следовательно,
не принадлежит соответствующему отрезку
. Если
, то, говоря об отрезке
, подразумевают точку
.
Теорема. Пересечение системы вложенных отрезков состоит из одной единственной точки тогда и только тогда, когда для любого
в системе
имеется отрезок
длины
.
Доказательство. По принципу Кантора пересечением отрезков системы является отрезок
, который сводится к одной точке, если
. Если
, то длина каждого отрезка
системы
не меньше, чем
; поэтому если в системе
имеются отрезки произвольно малой длины, то их пересечением является одна точка.
Обратно, поскольку
в системе для заданного
есть отрезок
, для которого
, и отрезок
, для которого
. Если, например,
, то мы имеем
Если , то
, так что в системе
имеется отрезок длины
, и теорема доказана.