Длина (норма) вектора

Определение нормы вектора

Примеры на нахождения нормы вектора

Пример нахождения нормы вектора

Пример:

Даны точки А(0;1), B(1;0), C(1;2) и D(2;1). Доказать, что \vec{AB}=\vec{CD}.

Решение:

Вектора равны тогда, когда они сонаправлены и равны их длины, т.е.

    \[\vec{AB}=\vec{CD}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\vec{AB}\uparrow\uparrow\vec{CD} \\\left | \vec{AB} \right |=\left |\vec{CD} \right | \end{matrix}\right.\]

Координаты векторов: \vec{AB}=\left \{ 1;-1 \right \} и \vec{CD}=\left \{ 1;-1 \right \}

Длины векторов соответственно равны: \left |\vec{AB} \right |=\sqrt{2} и \left |\vec{СВ} \right |=\sqrt{2}

Соответсвенно \vec{AB}=\vec{CD}, что и требовалось доказать.

Пример:

Дан вектор \vec{x}=\left \{ 1;3 \right \}. Найти вектор \vec{y} одинаково направленный с вектором \vec{x} и имеющий в 2 раза большую длину.

Решение:

Длина вектора \vec{x} равна \left |\vec{x} \right | =\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.

И по условию задачи: \left |\vec{y} \right | =2\sqrt{10}.

Пусть \vec{y}=\left \{ a;b \right \}, тогда \left |\vec{y} \right | =\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{10}.

Так как вектора \vec{x} и \vec{y} одинаково направлены, то они коллинеарны, значит, соответствующие координаты векторов пропорциональны: \frac{a}{1}=\frac{b}{3}\Rightarrow b=3a

Таким образом:

    \[\left | \vec{y} \right | = \sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10a^2}=2\sqrt{10}\]

Т.е. \sqrt{10a^2}=\sqrt{40}.

Откуда получаем: a^2=4, а значит a=\pm 2 \Rightarrow b=\pm6.

Вектор \vec{y}=\left \{ -2;-6 \right \} — противоположно направлен вектору \vec{x}, следовательно \vec{y}=\left \{ 2;6 \right \} — искомый вектор.

Очень плохоПлохоСреднеХорошоОтлично (Еще нет голосов, оставьте первым)
Загрузка...

Оставь комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *