Длина (норма) вектора: формула | Как находить длину вектора?

Примеры на нахождения нормы вектора

Пример:

Даны точки А(0;1), B(1;0), C(1;2) и D(2;1). Доказать, что $\vec{AB}=\vec{CD}$ .

Решение:

Вектора равны тогда, когда они сонаправлены и равны их длины, т.е.

$\vec{AB}=\vec{CD}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\vec{AB}\uparrow\uparrow\vec{CD} \\\left | \vec{AB} \right |=\left |\vec{CD} \right | \end{matrix}\right.$

Координаты векторов: $\vec{AB}=\left \{ 1;-1 \right \}$ и $\vec{CD}=\left \{ 1;-1 \right \}$

Длины векторов соответственно равны: $\left |\vec{AB} \right |=\sqrt{2}$ и $\left |\vec{СВ} \right |=\sqrt{2}$

Соответсвенно $\vec{AB}=\vec{CD}$ , что и требовалось доказать.

Пример:

Дан вектор $\vec{x}=\left \{ 1;3 \right \}$ . Найти вектор $\vec{y}$ одинаково направленный с вектором $\vec{x}$ и имеющий в 2 раза большую длину.

Решение:

Длина вектора $\vec{x}$ равна $\left |\vec{x} \right | =\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ .

И по условию задачи: $\left |\vec{y} \right | =2\sqrt{10}$ .

Пусть $\vec{y}=\left \{ a;b \right \}$ , тогда $\left |\vec{y} \right | =\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{10}$ .

Так как вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$ одинаково направлены, то они коллинеарны, значит, соответствующие координаты векторов пропорциональны: $\frac{a}{1}=\frac{b}{3}\Rightarrow b=3a$

Таким образом:

$\left | \vec{y} \right | = \sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10a^2}=2\sqrt{10}$

Т.е. $\sqrt{10a^2}=\sqrt{40}$ .

Откуда получаем: $a^2=4$ , а значит $a=\pm 2 \Rightarrow b=\pm6$ .

Вектор $\vec{y}=\left \{ -2;-6 \right \}$ — противоположно направлен вектору $\vec{x}$ , следовательно $\vec{y}=\left \{ 2;6 \right \}$ — искомый вектор.

Примеры на нахождения нормы вектора

Оставь комментарий Отменить ответ